Åpne hovedmenyen

Pi

matematisk konstant: Sirkelomkrets : sirkeldiameter ≈ 3,14159 26536
En sirkel med diameter lik 1 har en omkrets lik .
Minuskelen .
Arealet til sirkelen er lik x r².

Den matematiske konstanten (symbol: (minuskel pi), gresk bokstav) er definert som forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel: Omkrets = diameter. Ofte brukes 3,14 eller brøken 22/7 som en rimelig tilnærming til for hverdags bruk, for eksempel i skolen. Den nøyaktige verdien har uendelig mange ikke-sykliske desimaler, dermed er et irrasjonalt tall eller mer spesifikt et transcendentalt tall.

Man bruker tallet , som forklart over, når man skal regne omkrets og areal av sirkler eller ellipser. brukes også når man skal finne volum- og overflateverdi av kjegler, sylindre og kuler. Også i trigonometrien er en grunnleggende konstant.

I 2019 ble kalkulert til over 31,4 billioner desimaler, og tok 121 dager å beregne.[1][2] Pi-dagen markeres den 14. mars.

Innhold

HistorieRediger

  har gjennom historien blitt beregnet på ulikt vis:

Babylonerne ca. 2000 f. Kr. 3,125
Egypterne ca. 2000 f. Kr. 3,160 45
Salomo ca. 950 f. Kr.^ 3[3][4]
Arkimedes ca. 250 f. Kr. 3,141 8 (223/71 <  < 22/7)
Liu Xin ca. 5 f. Kr. 3,125 (25/8)
Zu Chongzhi ca. 480 e. Kr. 3,141 592 920 (355/113)
Otho 1573 3,141 592 9
Viete 1593 3,141 592 653 6
Ludolph van Ceulen ca. 1600 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 – 35 desimaler med lignende metoder som Arkimedes.
William Shanks 1873 Han brukte 707 desimalplasser, men han gjorde en feil ved den 528. desimalplassen slik at resten ble feil.
John von Neumann m.fl. 1949 2037 desimaler, brukte den tidlige datamaskinen ENIAC, kjøringen tok 70 timer.
Guilloud og Bouyer 1973 1 001 250 desimaler.
Kanada og Tamura 1989 1 073 741 799 desimaler.
Yasumasa Kanada 2004 1 241 100 000 000 desimaler ved hjelp av en PC.
Fabrice Bellard
Alexander Yee
Shigeru Kondo
2009
2013
2 699 999 990 000 desimaler
12 100 000 000 050 desimaler
Emma Haruka Iwao/Google 2019 31 415 926 535 897 desimaler

Den tysk-nederlandske matematikkprofessoren Ludolph van Ceulen brukte store deler av sitt liv på å kalkulere 35 desimaler. De ble inngravert på hans gravstein i Leiden i Nederland i 1610.

I 1761 beviste Johann Heinrich Lambert at   er irrasjonalt tall. Transcendensen til tallet ble bevist i 1882 av Ferdinand von Lindemann.

BeregningRediger

Behovet for nøyaktighet av  Rediger

Siden   er et irrasjonalt tall er det ikke grenser for hvor nøyaktig man kan beregne  , men er det egentlig nødvendig? – NASA bruker i sine baneberegninger for interplanetære reiser 16 signifikante sifre.[5] Det viser seg at 39 signifikante siffer er tilstrekkelig til å beregne de fleste kosmologiske konstanter, siden du da kan beregne omkretsen av universet med en nøyaktighet på ett atom.[6] Hvis man tar hensyn til avrundingsfeil vil noen få hundre siffer være nok til alle tenkelige vitenskapelige formål.[7] Vi har likevel beregnet   med en ufattelig høy presisjon, men hva er poenget? Delvis er det nok menneskets iboende trang til å bryte rekorder[8][9], men det har også visse praktiske fordeler, slik som at beregningsalgoritmer for   brukes til å teste superdatamaskiner, testing av numeriske algoritmer og i ren matematikk der man trenger data for å evaluere forutsigbarheten i  .[10]

Algoritmer for beregning av  Rediger

Det finnes flere måter å beregne en tilnærming til konstanten. En metode som ikke konvergerer særlig raskt (trenger 152 trinn før det beregnede tallet kan avrundes til 3,14) og som ofte blir kalt Leibniz' formel er

 

eller som en tilnærming

 

I det ovenstående er   angitt til 72 desimaler.

I begynnelsen av 1900-tallet fant den unge matematikeren Srinivasa Aiyangar Ramanujan fra India mange nye formler for  . Noen var forbløffende korte og elegante, dype og raskt konvergerende etter få trinn.[11] Spesielt denne er berømt:

 

Der   er fakultet av  ; dvs.  ,  ,  ,  ,  , osv.

Første iterasjon med   gir 6 desimalers nøyaktighet, andre gir 14 desimaler, tredje gir 22 desimaler …

Et annet eksempel på en formel for   som ikke konvergerer særlig raskt er denne:

 

Formler der opptrerRediger

GeometriRediger

  forekommer i mange geometriske formler for sirkler, sfærer og andre runde objekter.

Geometrisk form Formel
  Omkretsen av en sirkel med radius   og diameter    
Arealet av en sirkel med radien    
  Arealet av en ellipse med halvaksene   og    
  Volumet av en sfære (kule) med radius   og diameter    
Overflatearealet av en sfære med radius    
Volumet av en sylinder med høyde   og radius    
Overflatearealet av en sylinder med høyde   og radius    
  Volumet av en kjegle med høyde   og radius    
Overflatearealet av en kjegle med høyde   og radius    

AnalyseRediger

Tallet   er tett forbundet med de komplekse tallene, noe som følger av de trigonometriske funksjonenes forekomst i Eulers formel for den komplekse eksponentialfunksjonen,

 

Et spesialtilfelle er Eulers likhet,

 

som ble kalt "den merkeligste formelen innen matematikken" av Richard Feynman fordi den knytter sammen fem av de viktigste tallene:  ,  ,   som er basisen for de naturlige logaritmene, den imaginære enheten   som de komplekse tallene defineres ut fra og  . Videre følger for eksempel av residysatsen for kurveintegraler at

 

Arealet av en kvart enhetssirkel gis ved:

 

Øvrig matematikkRediger

 
 
 
Generelt er   et rasjonelt multiplum av   for det positive heltallet  .
 
 
 

på avveierRediger

I 1897 var kongressen i delstaten Indiana, i USA, i ferd med å vedta en lov som bl.a. kunne tolkes som en avrunding av   til 4 i stedet for 3,14. Kongressen ble dog stoppet av en professor som tilfeldigvis var til stede før det endelige vedtaket. Med   definert til 4 ville ingen broer bli stående, og klokker konstruert ut fra denne formelen ville sakne ca. ett kvarter for hver hele time.[12]

Nordmannen Andreas Dahl Uthaug utga i 1916 en bok om et eget norsk  , som var nøyaktig 3,125.[13]

Bruk (utvalg)Rediger

  • utregning av størrelsen på fallskjermen som er nødvendig til å lande en roverMars[14]
  • utregning av hvor mange rektangulære kamerabilder er nødvendig for å kartlegge overflaten av en planet[14]
  • få et romskip til å bremse til akkurat riktig tid når det skal gå inn i den fastlagte banen rund en planet[14]

FotnoterRediger

  1. ^ Tidsangivelsen kan være omstridt, det er her tatt utgangspunkt i tidsangivelsen slik den fremkommer i Nevi'im og ikke når Nevi'im er skrevet ned.

ReferanserRediger

  1. ^ «Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes’ constant on Google Cloud». Google Cloud Blog. Besøkt 14. mars 2019. 
  2. ^ «Most accurate value of pi». Guinness World Records (engelsk). Besøkt 14. mars 2019. 
  3. ^ 1. Kong 7,23
  4. ^ 2. Krøn 4,2
  5. ^ "Hvor mange desimaler i pi trenger vi virkelig?", NASA, https://www.jpl.nasa.gov/edu/news/2016/3/16/how-many-decimals-of-pi-do-we-really-need/, besøkt 3. mars 2018 
  6. ^ James Grime, Pi and the size of the Universe, Numberphile, https://www.youtube.com/watch?v=FpyrF_Ci2TQ 
  7. ^ Arndt & Haenel 2006, s. 17–19
  8. ^ Schudel, Matt (25. mars 2009). «John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi». The Washington Post. s. B5. 
  9. ^ Connor, Steve (8. januar 2010). «The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?». The Independent. London. Arkivert fra originalen 2. april 2012. Besøkt 14. april 2012. 
  10. ^ Arndt & Haenel 2006, s. 18
  11. ^ «The constant π: Ramanujan type formulas». Besøkt 4. november 2007. 
  12. ^ Peter Englund: Brev fra nullpunktet, Universitetsforlaget, Oslo 1997, ISBN 82-00-22840-1
  13. ^ Forskning.no Arkivert 2011-08-12, hos Wayback Machine.
  14. ^ a b c Kleinman, Zoe (14. mars 2019). «Woman smashes pi world record» (engelsk). Besøkt 15. mars 2019. 

DiverseRediger

  • David Blatner: The Joy of Pi, Walker & Company (1997), ISBN 0-8027-1332-7.
  • I 1998 debuterte Darren Arnofsky med en film med navnet pi som handlet om en matematiker som arbeidet med nettopp tallet  .

Eksterne lenkerRediger