Ellipse

lukket oval kurve
Ellipse-conic.svg

En ellipse er i matematikk en type kjeglesnitt, en plan kurve dannet som skjæringslinjen mellom et plan og en kjegleflate.[1] Andre typer kjeglesnitt er parabler og hyperbler.

En ellipse kan defineres geometrisk som en samling av punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, og der proporsjonalitetskonstanten er mindre enn 1. Proporsjonalitetskonstanten kalles eksentrisiteten, og den er et mål for hvor mye kurven avviker fra en sirkel. En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse med eksentrisitet lik null. Når eksentrisiteten øker mot 1 blir ellipsen mer og mer flattrykt.


Alternativt kan ellipsen defineres som en kurve der avstanden til to gitte punkt har en konstant sum.

Analytisk kan en ellipse beskrives ved hjelp av en andregradsligning i to variable. For at ligningen skal framstille en ellipse må diskriminanten definert ved ligningskoeffisientene være negativ. I visse tilfeller kan ellipsen degenerere til et punkt. Standardformen for en ellipse med sentrum i origo og halvakser og er

Ellipser tilhører også kurveklassen av ovaler.

Geometrisk definisjonRediger

 
Tegning av en ellipse med gartnermetoden

En ellipse kan defineres som det geometriske sted for et punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, og der proporsjonalitetskonstanten er mindre enn 1. Punktet kalles for brennpunktet eller fokus, og linjen kalles styrelinje eller direktrise. Generelt er et kjeglesnitt det geometriske sted for et punkt der avstanden fra brennpunktet er proporsjonal med avstanden til styrelinjen, og proprosjonaliteteskonstanten kalles eksentrisiteten. En ellipse er altså et kjeglesnitt med eksentrisitet mindre enn 1.

Et plan som skjærer en rett kjegleflate med sirkulær basis vil framstille en ellipse dersom toppvinkelen i kjeglen er mindre enn vinkelen som planet danner med kjegleaksen.

Symmmetri gjør at samme ellipse vil være det geometriske sted for to ulike valg av brennpunkt og styrelinje. En ellipse har derfor to brennpunkt. Midtpunktet mellom brennpunktene er sentrum i ellipsen.

Denne geometriske definisjonene av en ellipse inkluderer ikke sirkelen, men en sirkel kan betraktes som det spesialtilfellet en får når eksentrisiteten går mot null. De to brennpunktene faller da sammen i ett enkelt punkt, sirkelsenteret.

Alternativt kan en ellipse defineres som det geometriske sted for et punkt der summen av avstandene til to gitte brennpunkter er konstant.[2] Dette har gitt opphavet til navnet gartnermetoden for å tegne en ellipse: Mellom to påler i jorda kan en knytte et tau som er lenger ennn avtanden mellom pålene. Ved å føre en pinne innenfor tauet, som hele tiden holdes stramt, så vil pinnen tegne en ellipse.

PolarformRediger

 
Terminologi knyttet til ellipsen
 
Parametre for en ellipse

Gitt en styrelinje og et brennpunkt F, og la avstanden mellom disse være  . For et vilkårlig punkt på ellipsen P er avstanden til styrelinjen alltid proporsjonal med avstanden til brennpunktet:

 

Proporsjonalitetsfaktoren   kalles eksentrisiteten. Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kalles aksen til ellipsen. I polarkoordinater  . med polen definert i brennpunktet og akse langs ellipseaksen, kan dette skrives som

 

Ellipsen skjærer  -aksen i to toppunkt, for   og for  . Avstanden fra disse toppunktene til brennpunktet F er

 

Avstanden mellom toppunktene er dermed

 

En vilkårlig korde mellom to punkt på ellipsen, parallelt med styrelinjen, vil ha lengden

 .

Denne funksjonen har en maksimumsverdi for  , og maksimumsverdien er gitt ved

 

Halve avstanden mellom de to toppunktene er den store halvaksen i ellipsen. Den lille halvaksen er halvparten av maksimumsverdien for  :

 

De to halvaksene skjærer hverandre i sentrum i ellipsen, i en avstand fra brennpunktet F gitt ved

 .

Denne ligningen gir også et uttrykk for avstanden mellom brennpunktet og styrelinjen, uttrykt ved den store halvaksen:

 

Avstanden fra sentrum til styrelinjen er gitt ved

 

En kan vise fra polarkoordinatene at ellipsen har et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje symmetrisk om sentrum. Det vil si at ellipsen har to brennpunkt, hvert punkt i avstanden   fra sentrum. Tilsvarende har ellipsen to styrelinjer, hver i avstanden   fra sentrum. Ellipsen er symmetrisk om sentrum.

Korden mellom to punkt på ellipsen, parallelt med styrelinjen og gjennom brennpunktet, kalles latus rectum. Lengden   av denne er

 

Halve korden kalles semi-latus rectum, med lengde  .

Effekt av eksentrisitetenRediger

 
Effekt av økende eksentrisitet nedover i figuren

Når eksentrisiteten øker mot 1 vil et brennpunkt og et toppunkt i ellipsen nærme seg hverandre. Fra uttrykkene fra halvaksene følger det også at

 

Siden forholdet minker når eksentrisiteten øker mot 1, så blir ellipsen mer og mer flattrykt.

Sammenheng mellom geometriske definisjonerRediger

Polarformen kan brukes til å vise at de to geometriske definisjonene for ellipsen er ekvivalente. Gitt et vilkårlig punkt P på ellipsen, og la avstanden fra dette punktet til de to styrelinjene være henholdsvis   og  . Tilsvarende la   og   være avstanden fra punktet til de to brennpunktene. Fra definisjonen med brennpunkt og styrelinje følger det at

 

Siden   er lengden mellom styrelinjene følger det direkte at summen av avstandene fra brennpunktet er konstant:

 

Standardform i kartesiske koordinaterRediger

En standardform for ellipsen, også kalt en kanoniske form, er en ligning for de kartesiske koordinatene   som framkommer når  -aksen defineres langs ellipseaksen,  -aksen defineres parallelt med styrelinjen og origo velges i sentrum av ellipsen:[2]

 

Ligningen har to parametre, lengdene   og   av de to halvaksene. Orientering av ellipsen er vanligvis valgt slik at  , og   er da lengden av den store halvaksen og   lengden av den lille halvaksen. Når   framstiller ligningen en sirkel.

Standardformen kan utledes fra polarformen, ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:

 

Som vist i avsnittet om polarformen ligger brennpunktene i avstand   fra origo. Styrelinjene ligger i avstanden   fra origo. Eksentrisiteten er gitt fra ligningskoeffisientene ved

 .

Standardformen med origo i toppunktet kan skrives som en parameterframstilling på formen

 

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i det ene brennpunktet:[2]

 

Generell kvadratisk formRediger

En generell kvadratisk form

 

vil framstille en ellipse dersom diskriminanten   er negativ:[3]

 

Ligningen kan overføres til standardformen ved hjelp av en koordinattransformasjon: en translasjon og en rotasjon.

Degenerert ellipseRediger

En ellipse med diskriminant lik null vil degenerere til et punkt dersom determinanten til matriseformen av ligningen er lik null.[2] Matriseformen er

 
 

Determinanten   til matrisen   er gitt ved

 

EgenskaperRediger

 
Konjugerte diametre i en ellipse. Hver sidekant i det omskrevne parallellogrammet er parallell med en diameter

SymmetriRediger

Ellipsen er symmetrisk om sentrum.

TangentlinjerRediger

For en ellipse på standardformen med origo i sentrum er ligningen for tangenten i punktet   gitt ved

 

ArealRediger

Arealet av en ellipse med halvaksen   og   er

 

Konjugerte diametreRediger

En diameter i ellipsen er en korde som går gjennom sentrum. To diametre i ellipsen er konjugerte dersom enhver korde parallell med den ene diameteren blir delt i to like deler av den andre.[4] De to aksene i en ellipse er konjugerte.

AnvendelserRediger

Ifølge Keplers lover beveger planetene seg i ellipsebaner med sola i det ene brennpunktet.

GeneraliseringerRediger

En superellipse er en kurve som kan beskrives med ligningen

 

hvor n, a og b er reelle tall.

En rotasjonsellipsoide er en omdreiningsflate generert ved å rotere en ellipse om den store eller den lille aksen. En ellipsoide er en flate der skjæringslinjer med et plan vil være ellipser.

HistorieRediger

For en felles oversikt over historien til kjeglesnitt, se avsnittet om kjeglesnittenes historie.

Se ogsåRediger

ReferanserRediger

LitteraturRediger

  • J.Dennis Lawrence (1972). A Catalog of Special Plane Curves. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60288-2. 
  • George B. Thomas, Ross L. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7.