Ellipse

En ellipse er i matematikk en type kjeglesnitt, en plan kurve dannet som skjæringslinjen mellom et plan og en kjegleflate. Andre typer kjeglesnitt er parabler og hyperbler.

En ellipse kan defineres geometrisk som en samling av punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, og der proporsjonalitetskonstanten er mindre enn 1. Proporsjonalitetskonstanten kalles eksentrisiteten, og den er et mål for hvor mye kurven avviker fra en sirkel. En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse med eksentrisitet lik null. Når eksentrisiteten øker mot 1 blir ellipsen mer og mer flattrykt.

Alternativt kan ellipsen defineres som en kurve der avstanden til to gitte punkt har en konstant sum.

Analytisk kan en ellipse beskrives ved hjelp av en andregradsligning i to variable. For at ligningen skal framstille en ellipse må diskriminanten definert ved ligningskoeffisientene være negativ. I visse tilfeller kan ellipsen degenerere til et punkt. Standardformen for en ellipse med sentrum i origo og halvakser $a$ og $b$ er

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Ellipser tilhører også kurveklassen av ovaler.

Geometrisk definisjon

Tegning av en ellipse med gartnermetoden

En ellipse kan defineres som det geometriske sted for et punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, og der proporsjonalitetskonstanten er mindre enn 1. Punktet kalles for brennpunktet eller fokus, og linjen kalles styrelinje eller direktrise. Generelt er et kjeglesnitt det geometriske sted for et punkt der avstanden fra brennpunktet er proporsjonal med avstanden til styrelinjen, og proprosjonaliteteskonstanten kalles eksentrisiteten. En ellipse er altså et kjeglesnitt med eksentrisitet mindre enn 1.

Et plan som skjærer en rett kjegleflate med sirkulær basis vil framstille en ellipse dersom toppvinkelen i kjeglen er mindre enn vinkelen som planet danner med kjegleaksen.

Symmetri gjør at samme ellipse vil være det geometriske sted for to ulike valg av brennpunkt og styrelinje. En ellipse har derfor to brennpunkt. Midtpunktet mellom brennpunktene er sentrum i ellipsen.

Denne geometriske definisjonene av en ellipse inkluderer ikke sirkelen, men en sirkel kan betraktes som det spesialtilfellet en får når eksentrisiteten går mot null. De to brennpunktene faller da sammen i ett enkelt punkt, sirkelsenteret.

Alternativt kan en ellipse defineres som det geometriske sted for et punkt der summen av avstandene til to gitte brennpunkter er konstant. Dette har gitt opphavet til navnet gartnermetoden for å tegne en ellipse: Mellom to påler i jorda kan man knytte et tau som er lenger enn avstanden mellom pålene. Ved å føre en pinne innenfor tauet, som hele tiden holdes stramt, så vil pinnen tegne en ellipse.

Polarform

Terminologi knyttet til ellipsen

Parametre for en ellipse

Gitt en styrelinje og et brennpunkt F, og la avstanden mellom disse være $h$. For et vilkårlig punkt på ellipsen P er avstanden til styrelinjen alltid proporsjonal med avstanden til brennpunktet:

$|FP|=e|SP|$

Proporsjonalitetsfaktoren $e$ kalles eksentrisiteten. Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kalles aksen til ellipsen. I polarkoordinater $(r,\theta )$. med polen definert i brennpunktet og akse langs ellipseaksen, kan dette skrives som

${\begin{alignedat}{2}r&=e(h+r\cos \theta )\\&={\frac {eh}{1-e\cos \theta }}\end{alignedat}}$

Ellipsen skjærer $x$-aksen i to toppunkt, for $\theta =0^{\circ }$ og for $\theta =180^{\circ }$. Avstanden fra disse toppunktene til brennpunktet F er

${\begin{alignedat}{2}k&=r(\theta =0^{\circ })\ &=\ {\frac {eh}{1-e}}\\g&=r(\theta =180^{\circ })\ &=\ {\frac {eh}{1+e}}\end{alignedat}}$

Avstanden mellom toppunktene er dermed

$k+g={\frac {eh}{1-e}}+{\frac {eh}{1+e}}={\frac {2eh}{1-e^{2}}}$

En vilkårlig korde mellom to punkt på ellipsen, parallelt med styrelinjen, vil ha lengden

$w(\theta )=2r\sin \theta =2{\frac {eh\sin \theta }{1-e\cos \theta }}$.

Denne funksjonen har en maksimumsverdi for $\cos \theta ^{\ast }=e$, og maksimumsverdien er gitt ved

$w(\theta ^{\ast })=2{\frac {eh}{1-e^{2}}}{\sqrt {1-e^{2}}}$

Halve avstanden mellom de to toppunktene er den store halvaksen i ellipsen. Den lille halvaksen er halvparten av maksimumsverdien for $w$:

${\begin{alignedat}{2}a&={\frac {eh}{1-e^{2}}}\\b&={\frac {eh}{1-e^{2}}}{\sqrt {1-e^{2}}}\end{alignedat}}$

De to halvaksene skjærer hverandre i sentrum i ellipsen, i en avstand fra brennpunktet F gitt ved

$r(\theta ^{\ast })\cos \theta ^{\ast }={\frac {e^{2}h}{1-e^{2}}}=ea$.

Denne ligningen gir også et uttrykk for avstanden mellom brennpunktet og styrelinjen, uttrykt ved den store halvaksen:

$h={\frac {a}{e}}(1-e^{2})$

Avstanden fra sentrum til styrelinjen er gitt ved

$h+ea={\frac {a}{e}}(1-e^{2})+ea={\frac {a}{e}}$

En kan vise fra polarkoordinatene at ellipsen har et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje symmetrisk om sentrum. Det vil si at ellipsen har to brennpunkt, hvert punkt i avstanden $ae$ fra sentrum. Tilsvarende har ellipsen to styrelinjer, hver i avstanden $a/e$ fra sentrum. Ellipsen er symmetrisk om sentrum.

Korden mellom to punkt på ellipsen, parallelt med styrelinjen og gjennom brennpunktet, kalles latus rectum. Lengden $l$ av denne er

$l=2r(\theta =90^{\circ })=2eh$

Halve korden kalles semi-latus rectum, med lengde $p=l/2=eh$.

Effekt av eksentrisiteten

Effekt av økende eksentrisitet nedover i figuren

Når eksentrisiteten øker mot 1 vil et brennpunkt og et toppunkt i ellipsen nærme seg hverandre. Fra uttrykkene fra halvaksene følger det også at

${\frac {b}{a}}={\sqrt {1-e^{2}}}$

Siden forholdet minker når eksentrisiteten øker mot 1, så blir ellipsen mer og mer flattrykt.

Sammenheng mellom geometriske definisjoner

Polarformen kan brukes til å vise at de to geometriske definisjonene for ellipsen er ekvivalente. Gitt et vilkårlig punkt P på ellipsen, og la avstanden fra dette punktet til de to styrelinjene være henholdsvis $l_{1}$ og $l_{2}$. Tilsvarende la $r_{1}$ og $r_{2}$ være avstanden fra punktet til de to brennpunktene. Fra definisjonen med brennpunkt og styrelinje følger det at

${\begin{alignedat}{2}r_{1}=el_{1}\\r_{2}=el_{2}\end{alignedat}}$

Siden $(l_{1}+l_{2})$ er lengden mellom styrelinjene følger det direkte at summen av avstandene fra brennpunktet er konstant:

$r_{1}+r_{2}=e(l_{1}+l_{2})$

Standardform i kartesiske koordinater

En standardform for ellipsen, også kalt en kanoniske form, er en ligning for de kartesiske koordinatene $(x,y)$ som framkommer når $x$-aksen defineres langs ellipseaksen, $y$-aksen defineres parallelt med styrelinjen og origo velges i sentrum av ellipsen:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Ligningen har to parametre, lengdene $a$ og $b$ av de to halvaksene. Orientering av ellipsen er vanligvis valgt slik at $a\geq b$, og $a$ er da lengden av den store halvaksen og $b$ lengden av den lille halvaksen. Når $a=b$ framstiller ligningen en sirkel.

Standardformen kan utledes fra polarformen, ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:

${\begin{alignedat}{2}x&=r\cos \theta -ae\\y&=r\sin \theta \\r^{2}&=(x+ae)^{2}+y^{2}\\\end{alignedat}}$

Som vist i avsnittet om polarformen ligger brennpunktene i avstand $ae$ fra origo. Styrelinjene ligger i avstanden $a/e$ fra origo. Eksentrisiteten er gitt fra ligningskoeffisientene ved

$e={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$.

Standardformen med origo i toppunktet kan skrives som en parameterframstilling på formen

$x(t)=a\cos t\qquad y(t)=b\sin t\qquad t\in [0,2\pi )$

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i det ene brennpunktet:

${(x-ea)^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$

Generell kvadratisk form

En generell kvadratisk form

$f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

vil framstille en ellipse dersom diskriminanten $d$ er negativ:

$d=B^{2}-4AC<0$

Ligningen kan overføres til standardformen ved hjelp av en koordinattransformasjon: en translasjon og en rotasjon.

Degenerert ellipse

En ellipse med diskriminant lik null vil degenerere til et punkt dersom determinanten til matriseformen av ligningen er lik null. Matriseformen er

${\mathsf {x}}{\mathsf {R}}{\mathsf {x}}^{\operatorname {T} }=0$

${\begin{alignedat}{2}{\mathsf {x}}&=(x,y,1)\\[3pt]{\mathsf {R}}&=\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\\[3pt]\end{alignedat}}$

Determinanten $\Delta _{3}$ til matrisen ${\mathsf {R}}$ er gitt ved

$\Delta _{3}=\det {\mathsf {R}}={\begin{vmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{vmatrix}}$

Egenskaper

Konjugerte diametre i en ellipse. Hver sidekant i det omskrevne parallellogrammet er parallell med en diameter

Symmetri

Ellipsen er symmetrisk om sentrum.

Tangentlinjer

For en ellipse på standardformen med origo i sentrum er ligningen for tangenten i punktet $(x_{0},y_{0})$ gitt ved

${\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=0$

Den kan finnes fra den generelle formen for beregning av tangenten til en generell kurve.

Areal

Arealet av en ellipse med halvaksen $a$ og $b$ er

$A=\pi ab$

En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse med radius $r$ = $a$ = $b$, og uttrykket reduserer seg da til den velkjente formelen for sirkelens areal $A=\pi ab=\pi r^{2}$.

Omkrets

Det finnes ingen enkel formel for omkretsen av en ellipse. Et eksakt uttrykk for omkretsen O er gitt ved en uendelig rekke:

$O=2a\pi \left[1-\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(2i)!^{2}}{(2^{i}i!)^{4}}}\cdot {\frac {e^{2i}}{2i-1}}\right]$

$e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}$

Når eksentrisiteten $e$ nærmer seg null, vil ellipseformen nærme seg en sirkel. Uttrykket i klammeparantesen vil da nærme seg 1, og formelen reduserer seg til formelen for omkretsen av en sirkel: $O=2\pi a$.

Det finnes flere enklere tilnærminger for omkretsen, som for eksempel Ramanujans tilnærming:

$O\approx \pi (a+b)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right)$

$h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2}$

Denne tilnærmingen er relativt nøyaktig, så lenge ellipsen ikke er for avlang.

Konjugerte diametre

En diameter i ellipsen er en korde som går gjennom sentrum. To diametre i ellipsen er konjugerte dersom enhver korde parallell med den ene diameteren blir delt i to like deler av den andre. De to aksene i en ellipse er konjugerte.

Anvendelser

Ellipsen kan defineres ved et gitt punkt F₁ innenfor en styresirkel med sentrum i F₂.

Ifølge Keplers lover beveger planetene seg i ellipsebaner med sola i det ene brennpunktet. Dette er en konsekvens av Newtons gravitasjonslov og vises i dag vanligvis ved å løse en differensialligning. Men Newton kom selv frem til dette ved rent geometriske betraktninger. I en forelesning ved Caltech på 1960-tallet viste Feynman hvordan dette er mulig. Denne fremstillingen ble senere publisert som Feynman's Lost Lecture.

Newton og Feynman gjorde bruk av en alternativ definisjon av ellipsen. Den sier at gitt en sirkel og et punkt innenfor sirkelen, så er ellipsen det geometriske sted for alle punkt som har samme avstand til sirkelen som til det gitte punktet. Radius i denne styresirkelen bestemmer den store halvaksen som 2a. Dens senter blir ellipsens ene brennpunkt, mens det andre er i det gitte punktet.

Med samme notasjon som i figuren til høyre, er det gitte punktet F₁ og styresirkelen c₂ har sitt senter i punktet F₂. Et punkt P på ellipsen har da avstanden PF₁ til det gitte punktet. Samtidig måles avstanden til styresirkelen langs en radius fra F₂ gjennom P og er Pc₂. Når disse to avstandene er like store, er summen av avstandene som P har til de to brennpunktene F₁ og F₂ lik med radius til styresirkelen. Da denne er 2a, har man dermed overensstemmelse med den vanlige gartnerdefinisjonen.

Feynman nevner til slutt i forelesningen at han ble interessert i disse geometriske egenskapene ved ellipsen da han prøvde å finne ut hvordan Rutherford hadde klart å beskrive lignende forhold for bevegelsen til alfapartikler som han benyttet i oppdagelsen av atomkjernen. Mellom dem virker den frastøtende Coulomb-kraften som avtar med avstanden på samme måte som gravitasjonskraften. Derfor følger alfapartiklene hyperbelbaner og ikke ellipsebaner. En hyperpel kan defineres som det geometriske sted for de punkt som har samme avstand til et gitt punkt som til en styresirkel når det gitte punktet ligger utenfor sirkelen.

Generaliseringer

En superellipse er en kurve som kan beskrives med ligningen

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1$

hvor n, a og b er reelle tall.

En rotasjonsellipsoide er en omdreiningsflate generert ved å rotere en ellipse om den store eller den lille aksen. En ellipsoide er en flate der skjæringslinjer med et plan vil være ellipser.

Historie

For en felles oversikt over historien til kjeglesnitt, se avsnittet om kjeglesnittenes historie.

Se også

• Hyperbel
• Parabel
• Kjeglesnitt
• Andregradsligning

Litteratur

• J.Dennis Lawrence (1972). A Catalog of Special Plane Curves. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60288-2. 
• George B. Thomas, Ross L. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7. CS1-vedlikehold: Ekstra tekst (link)

Eksterne lenker

• Youtube, Feynman's Lost Lecture, god fremstilling av Feynman's forelesning