Åpne hovedmenyen

Den matematiske konstanten er det unike reelle tallet som er slik at funksjonen har samme verdi som stigningstallet til tangentlinjen for alle verdier av . Mer generelt er de de eneste funksjonene som er lik sin egen deriverte, av typen hvor er en konstant. Funksjonen defineres som eksponentialfunksjonen, og den naturlige logaritmen er funksjonens inverse. Tallet kan også defineres som grunntallet til den naturlige logaritmen, (i dette tilfellet defineres logaritmen ved hjelp av et integral), som grensen til en bestemt følge eller som summen av en bestemt rekke.

er en av de viktigste matematiske konstantene, sammen med tallene , den imaginær enheten , for ikke å glemme de additive og multiplikative enhetene og . Tallet kalles også Eulers konstant eller eulertallet etter den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler og Napiers konstant etter den skotske matematikeren John Napier, som introduserte logaritmer. Merk at Eulers konstant ikke må forveksles med Euler-Mascheronis konstant, γ (gamma).

En numerisk tilnærming til , er: e ≅ 2 ,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 382 178 525 166 427 427 46…

HistorieRediger

Konstanten   ble først omtalt i 1618 i en tabell i tilleggsnotatet til et verk om logaritmer av John Napier. Selve konstanten var ikke inkludert, men en rekke naturlige logaritmer ble beregnet. Det antas at tabellen ble skrevet av William Oughtred. Oppdagelsen av konstanten i seg selv krediteres Jakob Bernoulli, som forsøkte å finne verdien til det følgende uttrykket, som kan brukes som en definisjon av  :

 

Den første kjente anvendelsen av konstanten, da representert med en  , var i en brevveksling mellom Gottfried Leibniz og Christiaan Huygens i 1690 og 1691. Leonhard Euler startet å bruke bokstaven   om konstanten i 1727, og den ble først brukt som   i Eulers Mechanica som ble publisert i 1736. På tross av at enkelte forskere i de påfølgende årene brukte bokstaven  , var det vanligste   og er nå blitt standard.

De faktiske årsakene til bruken av bokstaven   er ukjente, men det kan være fordi den er den første bokstaven i ordet eksponensiell. En annen mulighet er at   var den første ledige vokalen (  ble brukt til en annen konstant), men årsaken til denne vokalbruken er ukjent.

DefinisjonerRediger

Tallet   kan representeres på mange forskjellige måter, som en uendelig rekke, et uendelig produkt, en kjedebrøk eller som grenseverdien til en rekke.

GrenseverdiRediger

Som en grenseverdi defineres  

 

Dette er den vanligste måten å representere konstanten på.

Uendelig rekkeRediger

Man kan også definere   som summen av følgende uendelige rekke:

 

hvor   er fakultetet av  .

Løsning av integralligningRediger

  kan også defineres som det unike tallet   slik at

 

Disse forskjellige definisjonene er blitt bevist å være ekvivalente.

KjedebrøkRediger

En litt mindre vanlig måte å representere   på er som kjedebrøken

 

som kan skrives på den mer kompakte formen:

 

Uendelig produktRediger

Denne måten å representere   på inkluderer Pippengers produkt

 

og Guilleras produkt

 

hvor den  te faktoren er  te-roten av produktet

 

EgenskaperRediger

  er grunntallet for den naturlige logaritmen:

 

Videre er   irrasjonalt og transcendentalt ifølge Lindermann-Weierstrass' teorem. Dette ble først bevist av Charles Hermite i 1873.

Link til komplekse tallRediger

I henhold til Eulers formel er

 

Spesialtilfellet hvor   er kjent som Eulers likhet:

 

De harmoniske funksjonene kan representeres kun ved eksponensialfunksjoner.

 

Løsning av differensialligningerRediger

Mange vekst- og nedbrytningsprosesser kan modelleres gjennom eksponentialfunksjoner. Eksponentialfunksjonen   er viktig fordi det er den unike funksjonen som løser differensialligningen

 

  er lik sin egen deriverte. Den mest generelle funksjonen som er sin egen deriverte er  , der   er en konstant.

En kuriositetRediger

For   oppnås maksimum for funksjonen

 

Mer generelt gir verdien   maksimum for funksjonen

 

Huskeregel for desimalerRediger

Tips for å huske de 16 første desimalene i e: 2,7 (disse må man huske selv) 1828 (Henrik Ibsens fødselsår) 1828 (Ibsens fødselsår igjen) 459045 (gradene i en rettvinklet, likebeint trekant er 45 grader, 90 grader og 45 grader) 2 (dette er den 16. desimalen, og er det samme sifret som vi begynte med: 2,71... – både π og e har 2 som 16. desimal).

Alternativt kan man se bort fra 16. desimal regelen over og fortsette reglen med: 235 (første ustabile uranisotop), 360 en hel sirkel, 28 (Ibsens fødselsår forkortet) og 747 (Boeing flytype "Jumbojet").

Eksterne lenkerRediger