Konvergens (matematikk)

Konvergens er i matematikk en egenskap knyttet til uendelige følger, rekker og produkt samt til uekte integral og innebærer at disse har en endelig grenseverdi.[1] Dersom en uendelig følge har en endelig grenseverdi, sies følgen å være konvergent, og tilsvarende kan en definere en konvergent rekke, et konvergent produkt eller et konvergent uekte integral. Også en matematisk metode kan karakteriseres som konvergent, dersom resultatet av metoden er en konvergent følge.

Det komplementære antonymet til konvergens er divergens.

Begrep som «grenseverdi» og «nærmer seg» er naturlig knyttet til et avstandsmål, og konvergens kan defineres i et metrisk rom, der et slikt avstandsmål er gitt ved metrikken. En kan også definere konvergens i et topologisk rom.

Et konvergenskriterium er en regel som brukes for å avgjøre om en følge, rekke eller integral er konvergent.

Konvergens av uendelige følger i et metrisk romRediger

En følge   i et metrisk rom konverger mot en grenseverdi   dersom det for en hver verdi av epsilon   eksisterer et heltall   slik at[2]

 

der   er metrikken. Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

 

For følger av reelle eller komplekse tall brukes ofte metrikken definert ved absoluttverdien:

 

Definisjonen Av konvergens kan kompakt skrives som

 

Et eksempel på en konvergent følge er gitt ved

 

Grenseverdien er eulertallet e.

Konvergens av følger i et normert vektorromRediger

I et normert vektorrom er metrikken definert ut fra normen. Konvergens i norm kalles for sterk konvergens.[3]

Dersom   er et normert vektorrom og   er mengden av lineært begrensede funksjonaler , så sier en at en følge   konvergerer svakt mot en grense   dersom[4]

 

Konvergens av følger i et topologisk romRediger

I et topologisk rom   vil følgen   konvergere mot grenseverdien  , hvis det for hver omegn   til   gjelder at   bare inneholder endelig mange elementer fra følgen.[trenger referanse]

Punktvis konvergensRediger

En følge av funksjoner   der alle elementene har samme definisjonsmengde og verdiområde er punktvis konvergent dersom det for hvert argument   eksisterer en grenseverdi for følgen,[5] dvs at

 

For ikke-trivielle klasser av funksjoner kan punktvis konvergens ikke defineres ved hjelp av en metrikk.[6] Punktvis konvergens er en svakere form for konvergens enn uniform konvergens. Uniform konvergens vil alltid medføre punktvis konvergens, men ikke omvendt.

I det følgende eksempelet konvergerer følgen punktvis i intervallet [0,1), men ikke uniformt:

 

Uniform konvergensRediger

En følge av funksjoner   med samme definisjonsmengde og verdiområde er uniform konvergent med grense   dersom det for en hver verdi av epsilon   eksisterer et heltall N, uavhengig av argumentet x, slik at[5]

 

Uniform konvergens medfører at konvergenshastigheten er uavhengig av argumentet  .

Konvergenshastighet for følgerRediger

Generelt kan konvergenshastighet for en konvergent følge være et vilkårlig mål for hastigheten som følgen konvergerer med, for eksempel antall ledd som kreves for å oppnå en viss nøyaktighet. Det eksisterer en rekke definisjoner av konvergenshastighet.

En følge   i et metrisk rom som konverger mot   sies å ha lineær konvergens med konvergenshastighet   dersom

 

Følgen sies å konvergere superlineært dersom   og sublineært dersom den er konvergent, men  .

Generelt sies en rekke å konverger med orden   dersom det eksisterer en   og en konstant   slik at

 

For   = 1, 2, 3 har en henholdsvis lineær, kvadratisk og kubisk konvergens. Konstanten   kalles den asymptotiske feilkonstanten.[7]

Konvergens av uendelige rekkerRediger

En uendelig rekke definert ved

 

er konvergent dersom følgen av partialsummer er konvergent.[8] Den m-te partialsummen er definert ved

 

Rekken konvergerer dersom følgen   konvergerer.

Rekken konverger absolutt dersom også den følgende rekken konvergerer:[9]

 

En rekke konvergerer betinget dersom den konvergerer, men ikke konvergerer absolutt.

Konvergensradius for potensrekkerRediger

En potensrekker på forma

 

er uniformt konvergent dersom argumentet   ligger innenfor en sirkel med senter i   og radius lik den såkalte konvergensradiusen.[10]

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

 

Konvergens av uendelige produktRediger

En uendelig produkt definert ved

 

er konvergent dersom følgen av partialprodukt er konvergent. Den m-te partialproduktet er definert ved

 

Produktet konvergerer dersom følgen   konvergerer.

Et kjent eksempel på produkt-konvergens er Wallis' produkt:[11]

 

Konvergens av uekte integralRediger

Et uekte integral er et bestemt integral der en eller flere av integrasjonsgrensene er uendelig, eller der integranden har en singularitet i integrasjonsområdet.[12] Et uekte integral er konvergent dersom det eksisterer en endelig grenseverdi:

 
 

Konvergens av numeriske metoderRediger

I numerisk analyse kan en iterativ metode brukes for å finne tilnærmete løsninger til et matematisk problem. Metoden karakteriseres som konvergent dersom den produserer en konvergent følge av løsninger.[13] Konstruksjon av konvergente metoder og studiet av vilkår for konvergens er viktige aktiviteter i numerisk analyse.

ReferanserRediger

  1. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 121. ISBN 0-00-434347-6. 
  2. ^ W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis s.47
  3. ^ R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.136
  4. ^ R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.169
  5. ^ a b W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis s.143ff
  6. ^ R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.117
  7. ^ Germund Dahlquist, Åke Bjõrck (1974). Numerical methods. Prentice Hall. s. 224. ISBN 0-13-627315-7. 
  8. ^ W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis s.58ff
  9. ^ W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis s.71
  10. ^ W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis s.69
  11. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 631. ISBN 0-00-434347-6. 
  12. ^ Hans Fredrik Aas (1974). Forelesningsnotater i matematisk analyse. II. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen. s. 168ff. 
  13. ^ Gene H. Golub, Charles F. Van Loan (1983). Matrix computations. Oxford: North Oxford Academic. ISBN 0-946536-00-7. 

LitteraturRediger

  • W. Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis. Auckland: McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-085613-3. 
  • Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.