Åpne hovedmenyen

Konvergens er i matematikk en egenskap knyttet til uendelige følger, rekker og produkt, og også til uekte integral, dersom disse har en endelig grenseverdi. Dersom en uendelig følge har en endelig grenseverdi sies følgen å være konvergent, og tilsvarende kan en definere en konvergent rekke, et konvergent produkt eller et konvergent uekte integral.

Det komplementære antonymet til konvergens er divergens.

Begrep som «grenseverdi» og «nærmer seg» er naturlig knyttet til et avstandsmål, og konvergens kan defineres i et metrisk rom, der et slikt avstandsmål er gitt ved metrikken. En kan også definere konvergens i et topologisk rom.

Et konvergenskriterium er en regel som brukes for å avgjøre om en følge, rekke eller integral er konvergent.

Konvergens av uendelige følger i et metrisk romRediger

En følge   i et metrisk rom konverger mot en grenseverdi x dersom det for en hver verdi av epsilon   eksisterer et heltall N slik at

 

der d er metrikken. Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

 .

Definisjonen kan kompakt skrives som

 

Et eksempel på en konvergent følge er gitt ved

 

der grenseverdien er Eulertallet e.

Konvergens av følger i et normert vektorromRediger

I et normert vektorrom er metrikken definert ut fra normen. Konvergens i norm kalles for sterk konvergens.

Dersom V er et normert vektorrom og   er mengden av lineært begrensede funksjonalerV, så sier en at en følge   konvergerer svakt mot en grense x dersom

 

Konvergens av følger i et topologisk romRediger

I et topologisk rom V vil følgen   konvergere mot grenseverdien x, hvis det for hver omegn U til x gjelder at   bare inneholder endelig mange elementer fra følgen.

Punktvis konvergensRediger

En følge av funksjoner   med samme definisjonsmengde og verdiområde er punktvis konvergent dersom det for hvert argument x eksisterer en grenseverdi for følgen, dvs at

 

Punktvis konvergens er en svakere form for konvergens enn uniform konvergens. Uniform konvergens vil alltid medføre punktvis konvergens, men ikke omvendt.

I det følgende eksempelet konvergerer følgen punktvis i intervallet [0,1), men ikke uniformt:

 

Uniform konvergensRediger

En følge av funksjoner   med samme definisjonsmengde og verdiområde er uniform konvergent med grense f(x) dersom det for en hver verdi av epsilon   eksisterer et heltall N, uavhengig av argumentet x, slik at

 

Uniform konvergens medfører at konvergenshastigheten er uavhengig av argumentet x.

Konvergenshastighet for følgerRediger

Generelt kan konvergenshastighet for en konvergent følge være et vilkårlig mål for hastigheten som følgen konvergerer med, for eksempel antall ledd som kreves for å oppnå en viss nøyaktighet. Det eksisterer en rekke definisjoner av konvergenshastighet.

En følge   i et metrisk rom som konverger mot x sies å ha lineær konvergens med konvergenshastighet v dersom

 

Følgen sies å konvergere superlineært dersom v = 0 og sublineært dersom den er konvergent, men v = 1.

En rekke som konvergerer superlineært sies å ha konvergere med orden q dersom det eksisterer en q > 1 slik at

 

For q = 2 sier en at følgen har kvadratisk konvergens.

Konvergens av uendelige rekkerRediger

En uendelig rekke definert ved

 

er konvergent dersom følgen av partialsummer er konvergent. Den m-te partialsummen er definert ved

 

Rekken konvergerer dersom følgen   konvergerer.

Rekken konverger absolutt dersom også den følgende rekken konvergerer:

 

En rekke konvergerer betinget dersom den konvergerer, men ikke konvergerer absolutt.

Konvergensradius for potensrekkerRediger

En potensrekker på forma

 

er uniformt konvergent dersom argumentet x ligger innenfor en sirkel med senter i c og radius lik den såkalte konvergensradiusen.

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

 

Konvergens av uendelige produktRediger

En uendelig produkt definert ved

 

er konvergent dersom følgen av partialprodukt er konvergent. Den m-te partialproduktet er definert ved

 

Produktet konvergerer dersom følgen   konvergerer.

Et kjent eksempel på produkt-konvergens er Wallis' produkt:

 

Konvergens av uekte integralRediger

Et uekte integral er et bestemt integral der en eller flere av integrasjonegrensene er uendelig, eller der integranden har en singularitet i integrasjonsområdet. Et uekte integral er konvergent dersom det eksisterer en endelig grenseverdi: