Analysens fundamentalteorem
Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet. Helt uten kilder. (10. okt. 2015) |
Analysens fundamentalteorem sier at de to sentrale operasjonene i analysen, derivasjon og integrasjon, er hverandres inverser. Dette betyr at om en kontinuerlig funksjon først integreres og deretter deriveres, ender man opp med den opprinnelige funksjonen. En viktig konsekvens av dette teoremet er at man kan løse integrasjonsproblemer ved hjelp av enkle formler.
Formell definisjon
redigerDefinisjon del 1
redigerLa være en kontinuerlig funksjon. La være funksjonen definert for ved Da er
![{\textstyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d891fdf20e5445498c91c23858a3760ed0a63906)
![{\textstyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b494d0964a68e4a9a124ee1b6e512843a1b14a)
![{\textstyle F'(x)=f(x),\forall x\in [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262f9c666706312c2683f7191348cf805d85d079)
Definisjon del 2
redigerLa være en kontinuerlig funksjon. La være en funksjon slik at , da er
.gif)
![{\textstyle F'(x)=f(x),\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e6a8e10703d13d91ce577c37a045d6d4508697)
Bevis
redigerBevis for den første delen av analysens fundamentalteorem
redigerMan bruker middelverdisetningen for integrasjon:
![{\displaystyle F'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\mathop {dt} =\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}f({\widehat {x}})h=f(x),\quad {\widehat {x}}\in [x,x+h].\qquad \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f03d0b8ff2eb87d94b95b8fec4fbc3aed950a3)