Åpne hovedmenyen

En rekke er i matematikk en sum av ledd i en følge. En betegner rekken som henholdsvis endelig eller uendelig, avhengig av om antall ledd er endelig eller uendelig.

Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner

Dersom en uendelig rekke har en endelig sum sies rekken å være konvergent, ellers er den divergent.

Rekker opptrer i mange områder av matematikk, og studiet av rekker er en viktig del av matematisk analyse.

Innhold

Formell definisjonRediger

La   være en følge. En rekke med n-te ledd lik   er definert som summen av alle N leddene i følgen, der N kan være endelig eller uendelig:

 

Startindeksen for en rekke kan variere, tilsvarende som for en følge.

Til en uendelig følge   kan en definere en assosiert følge   der

 

Dersom følgen   konverger sier en at den uendelige rekken konverger, og

 

Leddet   kalles den n-te partialsummen til rekken. En alternativ definisjon av en rekkesum er gitt ved Cesàro-summering.

Eksempler på rekkerRediger

Eksempel 1: Aritmetisk rekkeRediger

En aritmetisk rekke er en rekke der differensen mellom leddene er konstant, det vil si at rekken er summen av en aritmetisk følge. Dersom det første leddet er x0 og n-te leddet er xn = x0 + nd, så er

 

En uendelig aritmetisk rekke er divergent.

Eksempel 2: Geometrisk rekkeRediger

En geometrisk rekke er en rekke der forholdet mellom leddene er konstant, og en uendelig geometrisk rekke har formen:

 

Rekken konverger kun dersom absoluttverdien av x er strengt mindre enn 1, dvs dersom |x| < 1:

 

En partialsum er gitt ved:

 

Eksempel 3: Harmonisk rekkeRediger

En harmonisk rekke er divergent

 

Mer generelt vil den følgende rekken konvergere hvis og bare hvis  :

 

Eksempel 4Rediger

Den følgende rekken konvergerer for  :

 

Eksempel 5: Eulertallet og eksponensialfunksjonenRediger

Eulertallet e er ofte definert ved hjelp av den følgende konvergente rekken:

 

Uttrykket i nevneren i brøken er n-fakultet. Generelt kan eksponentialfunksjonen defineres ved

 

Eksempel 6: Endelige heltalsrekkerRediger

Summen av de N første naturlige tallene kan skrives som en endelig rekke, med et enkelt uttrykk for summen:

 

Summen av de N første kvadrattallene og kubikktallene kan skrives tilsvarende

 
 

Summen av de N første potensene av tallet 2:

 

KonvergensRediger

En uendelig rekke vil konvergere bare dersom leddene utgjør en følge som konvergerer mot null.

En rekke   sies å konvergere absolutt dersom rekken   konvergerer. Dersom   konvergerer, mens   divergerer, sies rekken å konvergere betinget.

Dersom   og   er to rekker av reelle positive tall, så siest den siste rekken å konvergere langsommere enn den første dersom

 

KonvergenskriterierRediger

Det eksisterer en rekke kriterier for å bestemme når en uendelig rekke er konvergent, uten krav til at en kjenner summen som rekken konverger mot.

ForholdskriterietRediger

En rekke   av reelle tall der alle leddene er ulik null, konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

 

RotkriterietRediger

En rekke   av reelle tall konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

 

Alternerende rekkerRediger

Alternerende rekker er rekker der leddene veksler fortegn, det vil si at annenhvert ledd er positivt negativt.

Leibniz’ kriterium for alternerende rekker sier at rekken

 

er konvergent dersom   er en monotont minkende følge av positive tall som konvergerer mot null. Den følgende rekken er for eksempel konvergent:

 

PotensrekkerRediger

Potensrekker er rekker der leddene er relle eller komplekse tall, på forma

 

Her er c kalt senter for rekken og   er koeffisientene. En potensrekke vil generelt konvergere eller divergere avhengig av valg av variablene x, som kan være et vilkårlig reelt eller komplekst tall. Til en hver potensrekke er det assosiert en konvergenssirkel i det komplekse planet, slik at rekken konverger dersom x ligger innenfor sirkelen. Konvergenssirkelen har sentrum i c. Radiusen til konvergenssirkelen kalles konvergensradiusen.

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

 

Taylorrekker og maclaurinrekkerRediger

Utdypende artikkel: Taylorrekke

En taylorrekke for en uendelig mange ganger deriverbar reell funksjon f(x) er en potensrekke med sentrum i et vilkårlig verdi c på forma

 

Her er den n-te deriverte av funksjonen betegnet med  .

For argument innenfor konvergensradiusen til taylorrekken vil

 

En taylorrekke med senter i null kalles en maclaurinrekke.

Se ogsåRediger

LitteraturRediger