Rekke (matematikk)

En rekke er i matematikk en sum av ledd i en følge. En betegner rekken som henholdsvis endelig eller uendelig, avhengig av om antall ledd er endelig eller uendelig.

Områder i analyse

Differensialligninger

Funksjonalanalyse

Funksjoner av flere variable

Matematisk analyse

Kontinuitet Grenseverdier Følger Rekker Derivasjon Integrasjon

Komplekse funksjoner

Dersom en uendelig rekke har en endelig sum sies rekken å være konvergent, ellers er den divergent.

Rekker opptrer i mange områder av matematikk, og studiet av rekker er en viktig del av matematisk analyse.

Formell definisjon

La $\{a_{n}\}$ være en følge. En rekke med n-te ledd lik $a_{n}$ er definert som summen av alle N leddene i følgen, der N kan være endelig eller uendelig:

$s=\sum _{n=1}^{N}a_{n}\,$

Startindeksen for en rekke kan variere, tilsvarende som for en følge.

Til en uendelig følge $\{a_{n}\}$ kan en definere en assosiert følge $\{s_{n}\}$ der

$s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,$

Dersom følgen $\{s_{n}\}$ konverger sier en at den uendelige rekken konverger, og

$s=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\iff s=\lim _{n\to \infty }s_{n}$

Leddet $s_{n}$ kalles den n-te partialsummen til rekken. En alternativ definisjon av en rekkesum er gitt ved Cesàro-summering.

Eksempler på rekker

Eksempel 1: Aritmetisk rekke

En aritmetisk rekke er en rekke der differensen mellom leddene er konstant, det vil si at rekken er summen av en aritmetisk følge. Dersom det første leddet er x₀ og n-te leddet er x_n = x₀ + nd, så er

$\sum _{n=0}^{N}x_{n}=\sum _{n=0}^{N}{(x_{0}+nd)}={\frac {N+1}{2}}(x_{0}+x_{N})=(N+1)x_{0}+{\frac {1}{2}}N(N+1)d$

En uendelig aritmetisk rekke er divergent.

Eksempel 2: Geometrisk rekke

En geometrisk rekke er en rekke der forholdet mellom leddene er konstant, og en uendelig geometrisk rekke har formen:

$\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n}}$

Rekken konverger kun dersom absoluttverdien av x er strengt mindre enn 1, dvs dersom |x| < 1:

$\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n}}={1 \over {1-x}}$

En partialsum er gitt ved:

$\sum _{n=0}^{N}{x^{n}}={1-x^{N+1} \over {1-x}}$

Eksempel 3: Harmonisk rekke

En harmonisk rekke er divergent

$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}$

Mer generelt vil den følgende rekken konvergere hvis og bare hvis $p>1$:

$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{p}}}$

Eksempel 4

Den følgende rekken konvergerer for $p>1$:

$\sum _{n=2}^{\infty }{1 \over {n(\log n)^{p}}}$

Eksempel 5: Eulertallet og eksponensialfunksjonen

Eulertallet e er ofte definert ved hjelp av den følgende konvergente rekken:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over {n!}}$

Uttrykket i nevneren i brøken er n-fakultet. Generelt kan eksponentialfunksjonen defineres ved

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Eksempel 6: Endelige heltalsrekker

Summen av de N første naturlige tallene kan skrives som en endelig rekke, med et enkelt uttrykk for summen:

$\sum _{n=1}^{N}n={N(N+1) \over 2}$

Summen av de N første kvadrattallene og kubikktallene kan skrives tilsvarende

$\sum _{n=1}^{N}n^{2}={\frac {1}{6}}N(N+1)(1+2N)$

$\sum _{n=1}^{N}n^{3}=(\sum _{n=1}^{N}n)^{2}$

Summen av de N første potensene av tallet 2:

$\sum _{n=0}^{N}2^{n}=2\cdot 2^{N}-1$

Konvergens

En uendelig rekke vil konvergere bare dersom leddene utgjør en følge som konvergerer mot null.

En rekke $\sum a_{n}$ sies å konvergere absolutt dersom rekken $\sum |a_{n}|$ konvergerer. Dersom $\sum a_{n}$ konvergerer, mens $\sum |a_{n}|$ divergerer, sies rekken å konvergere betinget.

Dersom $\sum a_{n}$ og $\sum b_{n}$ er to rekker av reelle positive tall, så siest den siste rekken å konvergere langsommere enn den første dersom

$\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\infty$

Konvergenskriterier

Det eksisterer en rekke kriterier for å bestemme når en uendelig rekke er konvergent, uten krav til at en kjenner summen som rekken konverger mot.

Forholdskriteriet

En rekke $\sum a_{n}$ av reelle tall der alle leddene er ulik null, konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

$\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|\leq q\ {\mbox{for }}n\geq N$

Rotkriteriet

En rekke $\sum a_{n}$ av reelle tall konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

${\sqrt {|a_{n}|}}\leq q\ {\mbox{for }}n\geq N$

Alternerende rekker

Alternerende rekker er rekker der leddene veksler fortegn, det vil si at annenhvert ledd er positivt negativt.

Leibniz’ kriterium for alternerende rekker sier at rekken

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$

er konvergent dersom $\{a_{n}\}$ er en monotont minkende følge av positive tall som konvergerer mot null. Den følgende rekken er for eksempel konvergent:

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{1 \over n}$

Potensrekker

Potensrekker er rekker der leddene er relle eller komplekse tall, på forma

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$

Her er c kalt senter for rekken og $a_{n}$ er koeffisientene. En potensrekke vil generelt konvergere eller divergere avhengig av valg av variablene x, som kan være et vilkårlig reelt eller komplekst tall. Til en hver potensrekke er det assosiert en konvergenssirkel i det komplekse planet, slik at rekken konverger dersom x ligger innenfor sirkelen. Konvergenssirkelen har sentrum i c. Radiusen til konvergenssirkelen kalles konvergensradiusen.

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{x^{n} \over n}$

Taylorrekker og maclaurinrekker

Utdypende artikkel: Taylorrekke

En taylorrekke for en uendelig mange ganger deriverbar reell funksjon f(x) er en potensrekke med sentrum i et vilkårlig verdi c på forma

$p_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}f^{(n)}(c)(x-c)^{n}$

Her er den n-te deriverte av funksjonen betegnet med $f^{(n)}$.

For argument innenfor konvergensradiusen til taylorrekken vil

$f(x)=p_{n}(x)\,$

En taylorrekke med senter i null kalles en maclaurinrekke.

Se også

• Abels teorem for potensrekker
• Grandis rekke
• Logaritmer – Seksjonen Rekkeutviklinger for logaritmefunksjonen
• Niels Henrik Abel – Seksjonen Uendelige rekker

Litteratur

• Adams, Robert (2003). Calculus : a complete course (på english). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5. 
• Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. Besøkt 30. august 2016. 
• Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus (på norsk). Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3. Besøkt 30. august 2016. 
• Lindström, S.B. (2013). Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: (på svensk). Stefan B. Lindström. ISBN 978-91-981287-0-3. Besøkt 30. august 2016. 
• Adams, Robert A. (2006). Calculus: A Complete Course. ,. ISBN 0-321-27000-2. 
• Sandvold, Øgrim, Bakken, Pettersen, Skrindo, Thorstensen, Thorstensen: Gyldendals formelsamling i matematikk, 1.utg. 2008,Gyldendal, ISBN 978-82-05-38499-6
• Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.