Funksjonalanalyse

gren av matematisk analyse

Funksjonalanalysen er en gren av den matematiske analysen og kan beskrives som studiet av topologiske vektorrom og kontinuerlige lineæravbildninger mellom dem.

Topologiske vektorrom rediger

Et topologisk vektorrom er et vektorrom   over en topologisk kropp   (som regel er   enten   eller   med topologiene gitt av absoluttverdiene på disse kroppene) med en topologi slik at strukturavbildningene

 

 

er kontinuerlige. Sentrale eksempler på topologiske vektorrom er Banach-rom, Hilbert-rom og lokalt konvekse rom. Det følger eksempelvis av trekantulikheten at et normert rom er et topologisk vektorrom.

Kontinuerlige lineæravbildninger rediger

Lineæravbildninger mellom de endeligdimensjonale rommene   og  er automatisk kontinuerlige. Dette er derimot ikke lenger tilfelle i uendeligdimensjonale rom. For en lineæravbildning   mellom normerte rom er følgende ekvivalent:

  1.   er begrenset, det vil si at det finnes en konstant   slik at   for alle  
  2.   er kontinuerlig.
  3.   er kontinuerlig i 0.
  4.   er uniformt kontinuerlig.