Kontinuerlig funksjon
En kontinuerlig funksjon er intuitivt sett en funksjon som har den egenskapen at små endringer i medfører små endringer i funksjonsverdien . Overfører vi denne intuisjonen til geometrien ser vi at funksjonsgrafen til en kontinuerlig funksjon kan skisseres uten å løfte pennen. For en presis matematisk definisjon av kontinuitet, se under. En funksjon som ikke er kontinuerlig kalles diskontinuerlig.
Områder i analyse |
Differensialligninger |
Funksjonalanalyse |
Funksjoner av flere variable |
Matematisk analyse |
Kontinuitet |
Komplekse funksjoner |
Skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen følger av resultater for kontinuerlige reelle funksjoner.
Kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel
redigerSe på funksjoner hvor definisjonsmengden og verdimengden er delmengder av de reelle tall. Ofte er slike funksjoner gitt ved formeluttrykk. Vi har følgende tre ekvivalente definisjoner:
Epsilon-delta definisjon
redigerLa være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at er kontinuerlig i dersom det for hver finnes en slik at
- når og ligger i definisjonsmengden til .
Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.
Ved grenseverdier
redigerLa være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at er kontinuerlig i dersom er et isolert punkt i definisjonsmengden eller grenseverdien eksisterer og er lik . Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.
Ved sekvensielle grenseverdier
redigerLa være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at er kontinuerlig i dersom for hver følge av punkt i definisjonsmengden med , så eksisterer grenseverdien og er lik . Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.
Eksempler
redigerFølgende funksjoner er kontinuerlige:
- , hvor er en konstant.
- Absoluttverdien
- n-te potenser
- n-te røtter
- De trigonometriske funksjonene , og
- Eksponentialfunksjonen
- Logaritmefunksjonen
- Arcusfunksjonene , og
- De hyperbolske funksjonenen , , og
Funksjonen er ikke kontinuerlig i .
Funksjonen er ikke kontinuerlig i noe punkt.
Å avgjøre kontinuitet
redigerDersom en reell funksjon er gitt ved en formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjøre om er kontinuerlig. I stedet bruker man teoremet som sier at dersom funksjonen er bygget opp av kontinuerlige funksjoner ved operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning, så er også kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.
Eksempler:
- kontinuerlig siden er summen av de kontinuerlige funksjonene og .
- er kontinuerlig siden er sammensetningen av med produktet .
- er kontinuerlig siden er den kontinuerlige funksjonen delt på den kontinuerlige funksjonen . Merk at ikke er diskontinuelig i , men kun udefinert i dette punktet. Videre er det umulig å utvide definisjonsområdet til slik at blir kontinuerlig i .
Viktige resultater
redigerSkjæringssetningen: Anta at er en kontinuerlig funksjon hvor og har motsatte fortegn. Da finnes et tall mellom og slik at .
Ekstremalverdisetningen: La være en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall. Da eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for .
Kontinuitet for komplekse funksjoner av en kompleks variabel
redigerKontinuitet for en kompleks funksjon av en kompleks variabel defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.
Kontinuitet for funksjoner av flere variable
redigerKontinuitet for en funksjon av flere variable defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.
Følgende eksempel viser at man må være litt forsiktig når man ser på kontinuitet til funksjoner av flere variable: La Selv om og begge er kontinuerlige i , så er ikke kontinuerlig i .
Kontinuerlige funksjoner mellom metriske rom
redigerEpsilon-delta definisjon
redigerLa og være metriske rom med metrikker og henholdsvis. En funksjon er kontinuerlig i punktet dersom det for alle finnes en slik at
- for alle med .
En funksjon er kontinuerlig dersom funksjonen er kontinuerlig i alle punkt i .
Ved grenseverdier
redigerLa være en funksjon mellom metriske rom og la være et punkt i . Vi sier at er kontinuerlig i dersom er et isolert punkt i eller grenseverdien eksisterer og er lik . Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i .
Ved sekvensielle grenseverdier
redigerLa være en funksjon mellom metriske rom og la være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at er kontinuerlig i dersom for hver følge av punkt i med , så eksisterer grenseverdien og er lik . Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i .
Kontinuerlige funksjoner mellom topologiske rom
redigerDefinisjon
redigerEn funksjon mellom topologiske rom er kontinuerlig dersom er en åpen mengde i for hver åpen mengde i .
En kan også gi en ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturer. En slik definisjon viser at kontinuitet er en lokal egenskap.
Merk at sammensetningnen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.
Viktige resultater
redigerFølgende to resultater generaliserer skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen:
- Bildet av en sammenhengende mengde under en kontinuerlig funksjon er sammenhengende.
- Bildet av en kompakt mengde under en kontinuerlig funksjon er kompakt.
Litteratur
rediger- Adams, Robert (2003). Calculus : a complete course (på english). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5.
- Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. Besøkt 30. august 2016.
- Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus (på norsk). Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3. Besøkt 30. august 2016.
- Lindström, S.B. (2013). Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: (på svensk). Stefan B. Lindström. ISBN 978-91-981287-0-3. Besøkt 30. august 2016.