Åpne hovedmenyen

Kontinuerlig funksjon

matematisk begrep

En kontinuerlig funksjon er intuitivt sett en funksjon som har den egenskapen at små endringer i medfører små endringer i funksjonsverdien . Overfører vi denne intuisjonen til geometrien ser vi at funksjonsgrafen til en kontinuerlig funksjon kan skisseres uten å løfte pennen. For en presis matematisk definisjon av kontinuitet, se under. En funksjon som ikke er kontinuerlig kalles diskontinuerlig.

Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner

Skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen følger av resultater for kontinuerlige reelle funksjoner.

Kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabelRediger

Se på funksjoner   hvor definisjonsmengden og verdimengden er delmengder av de reelle tall. Ofte er slike funksjoner gitt ved formeluttrykk. Vi har følgende tre ekvivalente definisjoner:

Epsilon-delta definisjonRediger

La   være et punkt i definisjonsmengden til  . Vi sier at   er kontinuerlig i   dersom det for hver   finnes en   slik at

  når   og   ligger i definisjonsmengden til  .

Funksjonen   kalles kontinuerlig dersom   er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved grenseverdierRediger

La   være et punkt i definisjonsmengden til  . Vi sier at   er kontinuerlig i   dersom   er et isolert punkt i definisjonsmengden eller grenseverdien   eksisterer og er lik  . Funksjonen   kalles kontinuerlig dersom   er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved sekvensielle grenseverdierRediger

La   være et punkt i definisjonsmengden til  . Vi sier at   er kontinuerlig i   dersom for hver følge   av punkt i definisjonsmengden med  , så eksisterer grenseverdien   og er lik  . Funksjonen   kalles kontinuerlig dersom   er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

EksemplerRediger

Følgende funksjoner er kontinuerlige:

  •  , hvor   er en konstant.
  •  
  • Absoluttverdien  
  • n-te potenser  
  • n-te røtter  
  • De trigonometriske funksjonene  ,   og  
  • Eksponentialfunksjonen  
  • Logaritmefunksjonen  
  • Arcusfunksjonene  ,   og  
  • De hyperbolske funksjonenen  ,  ,   og  

Funksjonen   er ikke kontinuerlig i  .

Funksjonen   er ikke kontinuerlig i noe punkt.

Å avgjøre kontinuitetRediger

Dersom en reell funksjon   er gitt ved en formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjøre om   er kontinuerlig. I stedet bruker man teoremet som sier at dersom funksjonen   er bygget opp av kontinuerlige funksjoner ved operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning, så er også   kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.

Eksempler:

  •   kontinuerlig siden   er summen av de kontinuerlige funksjonene   og  .
  •   er kontinuerlig siden   er sammensetningen av   med produktet  .
  •   er kontinuerlig siden   er den kontinuerlige funksjonen   delt på den kontinuerlige funksjonen  . Merk at   ikke er diskontinuelig i  , men kun udefinert i dette punktet. Videre er det umulig å utvide definisjonsområdet til   slik at   blir kontinuerlig i  .

Viktige resultaterRediger

Skjæringssetningen: Anta at   er en kontinuerlig funksjon hvor   og   har motsatte fortegn. Da finnes et tall   mellom   og   slik at  .

Ekstremalverdisetningen: La   være en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall. Da eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for  .

Kontinuitet for komplekse funksjoner av en kompleks variabelRediger

Kontinuitet for en kompleks funksjon   av en kompleks variabel   defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Kontinuitet for funksjoner av flere variableRediger

Kontinuitet for en funksjon   av flere variable   defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Følgende eksempel viser at man må være litt forsiktig når man ser på kontinuitet til funksjoner av flere variable: La   Selv om   og   begge er kontinuerlige i  , så er ikke   kontinuerlig i  .

Kontinuerlige funksjoner mellom metriske romRediger

Epsilon-delta definisjonRediger

La   og   være metriske rom med metrikker   og   henholdsvis. En funksjon   er kontinuerlig i punktet   dersom det for alle   finnes en   slik at

  for alle   med  .

En funksjon er kontinuerlig dersom funksjonen er kontinuerlig i alle punkt   i  .

Ved grenseverdierRediger

La   være en funksjon mellom metriske rom og la   være et punkt i  . Vi sier at   er kontinuerlig i   dersom   er et isolert punkt i   eller grenseverdien   eksisterer og er lik  . Funksjonen   kalles kontinuerlig dersom   er kontinuerlig i alle punkt i  .

Ved sekvensielle grenseverdierRediger

La   være en funksjon mellom metriske rom og la   være et punkt i definisjonsmengden til  . Vi sier at   er kontinuerlig i   dersom for hver følge   av punkt i   med  , så eksisterer grenseverdien   og er lik  . Funksjonen   kalles kontinuerlig dersom   er kontinuerlig i alle punkt i  .

Kontinuerlige funksjoner mellom topologiske romRediger

DefinisjonRediger

En funksjon   mellom topologiske rom er kontinuerlig dersom   er en åpen mengde i   for hver åpen mengde   i  .

En kan også gi en ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturer. En slik definisjon viser at kontinuitet er en lokal egenskap.

Merk at sammensetningnen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

Viktige resultaterRediger

Følgende to resultater generaliserer skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen:

  • Bildet av en sammenhengende mengde under en kontinuerlig funksjon er sammenhengende.
  • Bildet av en kompakt mengde under en kontinuerlig funksjon er kompakt.

LitteraturRediger