Grenseverdi

I matematikk er en grenseverdi (kortform grense) en verdi som en funksjon nærmer seg, når funksjonsargumentet nærmer seg et bestemt punkt, eller uendelig. Også en følge kan ha en grenseverdi, som det n-te leddet nærmer seg når n går mot uendelig. For både funksjoner og følger krever en formell definisjon at en først har definert uttrykk som «nær» og «nærmer seg», noe som kan gjøres både i et metrisk rom og i et normert vektorrom.

Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner

Grenseverdier spiller en grunnleggende rolle i matematisk analyse.

Skrivemåter og grunnlegende begrepRediger

Grenseverdien   til en funksjon   når funksjonsargumentet nærmer seg verdien  , kan uttrykkes på de to ekvivalente måtene

 

Symbolet   er en forkortelse for det latinske ordet limes, som opprinnelig betydde grensen mellom to landområder. Når en romer nærmet seg limes, kom han nærmere en områdegrense.[1]

Verdien   kan være endelig eller uendelig. Dersom funksjonen   er definert for et endelig argument  , så kan   være lik eller ulik grenseverdien  . Dersom  , så er funksjonen kontinuerlig i  .

En grenseverdi til en følge kan tilsvarende skrives som

 

En følge som har en grenseverdi sies å være konvergent. En følge som ikke er konvergent, er divergent.

Definisjon av grenseverdien til en reell funksjonRediger

For mengden av reelle tall   måler en vanligvis avstand ved hjelp av absoluttverdi, og to reelle tall er nær hverandre dersom absoluttverdien av differansen er liten. En reell funksjon av én variabel har grenseverdien   når funksjonsargumentet nærmer seg et opphopningspunkt  , dersom det for et hvert reelt tall   finnes et reelt tall  , slik at hvis   er et tall i definisjonsmengden til  , så gjelder det at

 

Definisjonen kan uttrykkes slik: Forskjellen mellom   og   kan gjøres så liten man vil, ved å velge   tilstrekkelig nær  .

 
For alle x > S er verdien av f(x) innenfor en avstand ε fra grenseverdien L.

I definisjonen over er både   og grenseverdien   endelige størrelser. Definisjonen må justeres litt dersom en ønsker å studere en grenseverdi når funksjonsargumentet går mot uendelig: En funksjon har grenseverdien   når funksjonsargumentet går mot uendelig, dersom det for et hvert reelt tall   finnes et reelt tall  , slik at

 

Definisjonen for minus uendelig er tilsvarende.

Definisjonen av grenseverdi kan også utvides til også å omfatte   som funksjonsverdier.[2] En definisjon som uttrykker at en funksjon går mot uendelig kan skrives kompakt som

 

Eksempler på grenseverdier til reelle funksjonerRediger

For en kontinuerlig funksjon vil grenseverdien til funksjonen i et endelig punkt alltid være lik funksjonsverdien selv, og grenseverdien kan finnes ved direkte funksjonsberegning:

 

For en rasjonal funksjon kan en bruke L'Hôpitals regel til å bestemme grenseverdier, i tilfeller der både nevneren og telleren i funksjonen går mot null. I slike tilfeller kan «alt» skje:

 

Denne regel kan også brukes når nevneren går mot uendelig.

Definisjon av grenseverdien for en reell følgeRediger

En reell følge kan betraktes som en funksjon fra mengden av naturlige tall inn i  . Definisjonen av en grenseverdi er derfor tilsvarende som for grenseverdien til en funksjon når argumentet går mot uendelig.[3]

En følge   konverger mot verdien   dersom det for et hvert reelt tall   finnes et naturlig tall  , slik at

 

En følge kan ikke ha mer enn en grenseverdi.[4]

Eksempler på grenseverdier for reelle følgerRediger

Et utvalg av grenseverdier for følger:

 

Den siste grenseverdien definerer eulertallet  .

Definisjon av grenseverdier i metriske romRediger

Mengden av reelle tall er et spesialtilfelle av et metrisk rom, definert med metrikken

 

For en funksjon  , der både   og   er delmengder av metriske rom, definerer en grenseverdier tilsvarende som for en reell funksjon, ved å erstatte absoluttverdien med metrikken.[5] Funksjon har grenseverdien   når funksjonsargumentet nærmer seg den endelige verdien  , dersom det for et hvert reelt tall   finnes et reelt tall  , slik at

 

Her er   og   metrikken i henholdsvis   og  .

En grenseverdi for en følge i et metrisk rom defineres tilsvarende.

Definisjon av grenseverdier i normerte romRediger

For normerte vektorrom vil normen definere en metrikk:

 

I definisjon av en grenseverdi kan en la normen erstatte metrikken.[6]

Regneregler for grenseverdierRediger

Anta at to funksjoner   og   begge er definert med en grenseverdi når funksjonsargumentet nærmer seg verdien  :

 

Da gjelder regnereglene[5]

 

Tilsvarende regneregler gjelder for følger.

Ensidige grenseverdier for en funksjonRediger

For en reell funksjon   av én variabel kan en også definere ensidige grenseverdier, ofte kalt henholdsvis venstresidig og høyresidig grenseverdi.[7] Anta at definisjonsområdet for funksjonen inneholder intervallet  . Dersom   for alle følger   konvergerer mot verdien   når   går mot uendelig, så er   den venstresidige grenseverdien i  . Det eksisterer mange skrivemåter for en venstresidig grenseverdi:

  eller   eller   eller  

Også en forenklet skrivemåte   kan bli brukt.[7]

En høyresidig grenseverdi   defineres og skrives tilsvarende. En funksjon har en grenseverdi i   hvis og bare hvis begge de to ensidige grenseverdiene eksisterer samt at de er like:

 

Itererte grenseverdierRediger

For en en reell funksjon av flere variable kan en definere en grenseverdie ved hjelp en norm i definisjonsmengden, men det er også mulig å definere itererte grenseverdier, ved suksessivt å ta en-dimensjonale grenser.[8]

Gitt for eksempel funksjonen

 

For denne funksjonen kan en definere de to itererte grensene

 

Generelt vil rekkefølgen av grenseverdiene i iterasjonen være avgjørende for resultatet. Dersom funksjonen har en grenseverdi i norm, så må all itererte grenseverdier være lik denne. Funksjonen i eksempelet over har altså ingen grenseverdi når   går mot null.

DelfølgegrenserRediger

En delfølge konstrueres ved å velge ut en uendeleig delmengde av elementene i en følge.[9] Dersom det er mulig å konstruere en delfølge som konvergerer mot en grense  , så er   en delfølgegrense for den opprinnelige følgen. En følge kan ha flere delfølgegrenser, uten selv å konvergere.

For en konvergent følge må alle delfølger ha samme grenseverdi som følgen selv.

Dersom mengden av delfølgegrenser   til en gitt følge har en minste øvre skranke, en supremum, så defineres denne som limes superior for følgen. Dette skrives på formen

 

Limes inferior defineres tilsvarende, som den største nedre skranken.

Et eksempel er gitt ved følgen der det  -te leddet er definert ved

 

Denne rekken konvergerer ikke, men den har delfølgegrenser lik null og 1. Lim sup er dermed lik 1 og lim inf lik null.

Eksempler på bruk av grenseverdierRediger

Klassifikasjon av diskontinuiteter til en funksjonRediger

 
Grafen til funksjonen  

En diskontinuitet til en funksjon   i verdien   kan studeres ved å se på de ensidige grenseverdiene til funksjonen. Dersom begge ensidige grenseverdier eksisterer, men ikke er lik en eventuell funksjonsverdi i  , så sies funksjonen å ha en diskontinuitet av første type i  . Alle andre diskontinuiteter er av andre type.[7]

For en diskontinuitet av første type kan begge de to ensidige grenseverdiene være like, men ulike en eventuell funksjonsverdi i  . I dette tilfelle er diskontinuiteten en uvesentlig (eller fjernbar) diskontinuitet. Dersom de to ensidige grenseverdiene er ulike, så har funksjonen et sprang i  .

For   har funksjonen vist i grafen til høyre en venstresidig grenseverdi lik null og en høyresidig grenseverdi lik 1. Funksjonen har et sprang i  .

Grenseverdier for rekkerRediger

En rekke er en sum med et uendelig antall ledd. Rekken har en grenseverdi dersom følgen av delsummer har en grenseverdi, det vil si dersom den følgende grenseverdien eksisterer:

 

Forenklet skriver en grenseverdien ved å sette inn tegnet for uendelig i summetegnet:

 

Definisjon av uekte integralRediger

I teorien for integrasjon av en reell funksjon av én variabel forutsetter en vanligvis at funksjonen er begrenset og definert på et endelig intervall. Definisjonen av integralet kan imidlertid generaliseres til uekte integral, der disse forutsetningene ikke er oppfylte, ved å bruke grenseverdier. Et integral over et uendelig område kan for eksempel defineres slik:

 

Se ogsåRediger

ReferanserRediger

  1. ^ Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. s. 127. ISBN 0-88385-511-9. 
  2. ^ : W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.98
  3. ^ : W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.47
  4. ^ R.D. Milne: Applied functional analysis s.114
  5. ^ a b : W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.83ff
  6. ^ R.D. Milne: Applied functional analysis s.134f
  7. ^ a b c : W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.94
  8. ^ T.M. Apostol (1969). Calculus. II. New York: John Wiley & Sons. s. 251. ISBN 0-471-00008-6. 
  9. ^ : W. Rudin Principles of Mathematical Analysis s.51ff

LitteraturRediger

  • W. Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis. Auckland: McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-085613-3. 
  • Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.