Metrisk rom
Et metrisk rom i matematikk er en mengde der det er definert en metrikk eller et avstandsmål mellom to vilkårlige elementer i mengden. Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på de formelle egenskaper til avstandsmålet. Et matematisk resultat der beviset bygger ene og alene på de generelle egenskapene til en metrikk, vil være gyldig i alle metriske rom.
Et eksempel på et metriske rom er mengden av reelle tall, definert med metrikken . Andre eksempler euklidske rom Rn, definert sammen en avstandsmetrikk, og Manhattan-metrikken for et sett av punkter i et kartesisk plan, gitt en metrikk basert på en sum av absoluttverdien av koordinatene til disse punktene.
Ethvert metrisk rom er også et topologisk rom, og mengden av alle metriske rom er derfor en undermengde av alle topologiske rom.[1] Motsatt er alle normerte vektorrom, herunder alle indreproduktrom, metriske rom og mengden av alle normerte vektorrom (hhv. alle indreproduktsrom) er derfor ungdermengder av alle metriske rom.
Formell definisjon
redigerEt metrisk rom (V,d) er en mengde V der det er definert en metrikk d, det vil si en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:
Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:[2]
Eksempler på metriske rom
redigerMengden reelle tall og absoluttverdien mellom to tall
redigerMengden av alle reelle tall , kombinert med en metrikk definert som absoluttverdien mellom to punkter
er et metrisk rom.[3] Vi har her at
og lik 0 hvis og bare hvis . Videre er
så symmetribetingelsen er oppfylt, og for alle gjelder
- ,
det vil si at trekantulikheten også gjelder.
Euklidske rom og avstanden mellom to punkter
redigerEthvert euklidsk rom , der metrikken er lik avstanden mellom to punkter, gitt ved
er et metrisk rom.[2] Denne metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis . Videre er den er symmetrisk; å bytte om på x og y vil gi samme avstand:
for alle i. Trekantulikheten holder også: For alle punkter , vil
- .[4]
Altså er alle betingelser oppfylt – og ethvert euklidsk rom, med metrikk gitt ved avstanden mellom to punkter, utgjør et metrisk rom.
Euklidske rom og Manhattan-metrikken
redigerManhattan-metrikken er definert over , med metrikk gitt ved
for alle punkter .[5] Dette tilsvarer avstanden man må kjør dersom man følger en kvadratisk gatestruktur mellom to punkter.
Et generelt rom og en diskret metrikk
redigerEt annet eksempel på et metrisk rom er en mengde punkter og en diskret metrikk, gitt ved[2][3]
- .
Metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis , så første betingelse er oppfylt. Hvis så er og hvis ikke så er ; dermed gjelder også symmetribetingelsen. Videre, hvis er punkter i rommet , der så gjelder uansett hva er. Hvis så kan ikke både og (men muligens er én av de sanne) så minst én av og har verdi 1 og dermed gjelder også for alle punkter . Ettersom alle betingelsene er oppfylt, er med tilhørende metrikk et metrisk rom.
Egenskaper
redigerKonvergens
redigerEn følge i et metrisk rom er en mengde punkter , ofte skrevet som , i dette rommet. Man sier at en følge konvergerer til en grense dersom man for enhver kan finne en verdi slik at
for alle .[6]
Kontinuitet
redigerEn funksjon , der og er to metriske rom, sies å være kontinuerlig dersom den oppfyller epsilon-delta-betingelsen: Funksjonen er kontinuerlig for enhver , der , og enhver , finnes en slik at dersom og , så er .[7]
Kompletthet
redigerUtdypende artikkel: Komplett metrisk rom
Et metrisk rom V sies å være komplett dersom en hver Cauchyfølge konvergerer mot et element som også ligger i V. Alle lukkede mengder av komplette rom utgjør også i seg selv et komplett rom.[8]
Mengden av reelle tall er et eksempel på et komplett metrisk rom; det samme gjelder et generelt m-dimensjonalt euklidsk rom . Det er derimot ikke mengden av rasjonale tall , dvs tall som kan skrives som en brøk. I er det mulig å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall.[9]
Kompakthet
redigerEn undermengde A i et metrisk rom (V,d) er begrenset dersom det eksisterer et objekt x i A og en positiv konstant M slik at
Et delmengde A i et metrisk rom V sies å være kompakt dersom enhver følge i A har en konvergent delfølge. Enhver kompakt mengde er lukket og begrenset.[11]
Referanser
rediger- ^ G. Buskes, A. van Rooij: Topological Spaces, s. 159
- ^ a b c C. C. Pugh: Real Mathematical Analysis, s. 57–58
- ^ a b G. Buskes, A. van Rooij: Topological Spaces, s. 84–88
- ^ C. C. Pugh: Real Mathematical Analysis, s. 24
- ^ (en) Eric W. Weisstein, Taxicab Metric i MathWorld.
- ^ C. C. Pugh: Real Mathematical Analysis, s. 60
- ^ C. C. Pugh: Real Mathematical Analysis, s. 65
- ^ C. C. Pugh: Real Mathematical Analysis, s. 78
- ^ G. Buskes, A. van Rooij: Topological Spaces, s. 119
- ^ (en) Eric W. Weisstein, Bounded Set i MathWorld.
- ^ C. C. Pugh: Real Mathematical Analysis, s. 79
Litteratur
rediger- Charles Chapman Pugh (2002). Real Mathematical Analysis. Berkeley, CA, USA: Springer.
- Gerard Buskes, Arnoud van Rooij (1997). Topological Spaces – From Distance to Neighborhood. New York, NY, USA: Springer.
Eksterne lenker
rediger- (en) Eric W. Weisstein, Metric Space i MathWorld.