Metrisk rom

Et metrisk rom i matematikk er en mengde der det er definert en metrikk eller et avstandsmål mellom to vilkårlige elementer i mengden. Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på de formelle egenskaper til avstandsmålet. Et matematisk resultat der beviset bygger ene og alene på de generelle egenskapene til en metrikk, vil være gyldig i alle metriske rom.

Ethvert indreprodukt er også et normert vektorrom; ethvert normert vektorrom et metrisk rom; og ethvert metrisk rom et generelt topologisk rom.

Et eksempel på et metriske rom er mengden av reelle tall, definert med metrikken . Andre eksempler euklidske rom Rn, definert sammen en avstandsmetrikk, og Manhattan-metrikken for et sett av punkter i et kartesisk plan, gitt en metrikk basert på en sum av absoluttverdien av koordinatene til disse punktene.

Ethvert metrisk rom er også et topologisk rom, og mengden av alle metriske rom er derfor en undermengde av alle topologiske rom.[1] Motsatt er alle normerte vektorrom, herunder alle indreproduktrom, metriske rom og mengden av alle normerte vektorrom (hhv. alle indreproduktsrom) er derfor ungdermengder av alle metriske rom.

Formell definisjonRediger

Et metrisk rom (V,d) er en mengde V der det er definert en metrikk d, det vil si en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

 

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:[2]

 

Eksempler på metriske romRediger

Mengden reelle tall og absoluttverdien mellom to tallRediger

Mengden av alle reelle tall  , kombinert med en metrikk definert som absoluttverdien mellom to punkter

 

er et metrisk rom.[3] Vi har her at

 

og lik 0 hvis og bare hvis  . Videre er

 

så symmetribetingelsen er oppfylt, og for alle   gjelder

 ,

det vil si at trekantulikheten også gjelder.

Euklidske rom og avstanden mellom to punkterRediger

Ethvert euklidsk rom  , der metrikken er lik avstanden mellom to punkter, gitt ved

 

er et metrisk rom.[2] Denne metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis  . Videre er den er symmetrisk; å bytte om på x og y vil gi samme avstand:

 

for alle i. Trekantulikheten holder også: For alle punkter  , vil

 .[4]

Altså er alle betingelser oppfylt – og ethvert euklidsk rom, med metrikk gitt ved avstanden mellom to punkter, utgjør et metrisk rom.

Euklidske rom og Manhattan-metrikkenRediger

 
Manhattan-metrikken er definert langs aksene i et kartesisk koordinatsystem. Den røde, blå og gule linjen representerer samme avstand, den grønne linjen den tilsvarende euklidske metrikken (avstandsmålet).

Manhattan-metrikken er definert over  , med metrikk gitt ved

 

for alle punkter  .[5] Dette tilsvarer avstanden man må kjør dersom man følger en kvadratisk gatestruktur mellom to punkter.

Et generelt rom og en diskret metrikkRediger

Et annet eksempel på et metrisk rom er en mengde punkter   og en diskret metrikk, gitt ved[2][3]

 .

Metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis  , så første betingelse er oppfylt. Hvis   så er   og hvis ikke så er  ; dermed gjelder også symmetribetingelsen. Videre, hvis   er punkter i rommet  , der   så gjelder   uansett hva   er. Hvis   så kan ikke både   og   (men muligens er én av de sanne) så minst én av   og   har verdi 1 og dermed gjelder også   for alle punkter  . Ettersom alle betingelsene er oppfylt, er   med tilhørende metrikk et metrisk rom.

EgenskaperRediger

KonvergensRediger

En følge i et metrisk rom   er en mengde punkter  , ofte skrevet som  , i dette rommet. Man sier at en følge konvergerer til en grense   dersom man for enhver   kan finne en verdi   slik at

 

for alle  .[6]

KontinuitetRediger

En funksjon  , der   og   er to metriske rom, sies å være kontinuerlig dersom den oppfyller epsilon-delta-betingelsen: Funksjonen   er kontinuerlig for enhver  , der  , og enhver  , finnes en   slik at dersom   og  , så er  .[7]

KompletthetRediger

Utdypende artikkel: Komplett metrisk rom

Et metrisk rom V sies å være komplett dersom en hver Cauchyfølge konvergerer mot et element som også ligger i V. Alle lukkede mengder av komplette rom utgjør også i seg selv et komplett rom.[8]

Mengden av reelle tall   er et eksempel på et komplett metrisk rom; det samme gjelder et generelt m-dimensjonalt euklidsk rom  . Det er derimot ikke mengden av rasjonale tall  , dvs tall som kan skrives som en brøk. I   er det mulig å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall.[9]

KompakthetRediger

En undermengde A i et metrisk rom (V,d) er begrenset dersom det eksisterer et objekt x i A og en positiv konstant M slik at

 [10]

Et delmengde A i et metrisk rom V sies å være kompakt dersom enhver følge i A har en konvergent delfølge. Enhver kompakt mengde er lukket og begrenset.[11]

ReferanserRediger

LitteraturRediger

  • Charles Chapman Pugh (2002). Real Mathematical Analysis. Berkeley, CA, USA: Springer. 
  • Gerard Buskes, Arnoud van Rooij (1997). Topological Spaces – From Distance to Neighborhood. New York, NY, USA: Springer. 

Eksterne lenkerRediger

(en) Eric W. Weisstein, Metric Space i MathWorld.