Åpne hovedmenyen

Følge (matematikk)

ordnet liste av elementer
(Omdirigert fra Følge)

En følge er i matematikk en ordnet liste av objekter i en mengde. Antall objekter eller ledd i følgen kan være endelig eller tellbart uendelig, og det vil si at objektene kan nummereres ved hjelp av de naturlige tallene.

Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner

Dersom det n-te leddet i en uendelig følge i et metrisk rom nærmer seg en grenseverdi når n øker, sies følgen å være konvergent. En følge som ikke er konvergent er divergent. Følger opptrer i alle områder av matematikk, og studiet av følger er en viktig del av matematisk analyse. Konvergente følger spiller en spesielt viktig rolle, blant annet i definisjonen av irrasjonale tall.

Følger der elementene er reelle eller komplekse tall kalles ofte tallfølger. Tilsvarende er en funksjonsfølge en følge der elementene er funksjoner. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences er en database over følger av heltall.

En rekke er definert som summen av en endelig eller uendelig følge.

Formell definisjonRediger

En uendelig følge er en funksjon fra mengden av de naturlige tallene N:

 

Følgen sies å være definert i mengden V, der V er verdiområdet til funksjonen. Funksjonsverdiene   kalles leddene i følgen.

Alle de følgende eksemplene indikerer vanlig notasjon for en følge:

 

For en endelig følge brukes en endelig delmengde av N som indeksmengde istedenfor N. Vanligvis brukes mengden   eller mengden   for en følge med n elementer.

Grenseverdi og konvergensRediger

En følge   i et metrisk rom konverger mot en grenseverdi x dersom det for en hver verdi av epsilon   eksisterer et heltall N slik at

 

der d er metrikken. Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

 .

Definisjonen kan kompakt skrives som

 

CauchyfølgerRediger

En Cauchyfølge eller en fundamentalfølge er en følge i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg.

Et metrisk rom sies å være komplett dersom enhver Cauchyfølge i rommet konvergerer mot en grenseverdi som er inneholdt i rommet. Mengden av reelle tall er komplett, mens mengden av rasjonale tall ikke er det.

Begrensede følgerRediger

En følge   i et metrisk rom er begrenset dersom verdiområdet er begrenset. Det vil si at det eksisterer et element x i det metriske rommet og en konstant M slik at

 .

Enhver konvergent følge er begrenset.

Monotone følgerRediger

En følge av reelle tall   er monoton dersom den er opptil eller nedtil monoton:

 

En opptil monoton følge kalles også monotont voksende. En monotont avtagende følge er det samme som en nedtil monoton følge.

En monoton følge er konvergent hvis og bare hvis den er begrenset.

DelfølgerRediger

En delfølge er avledet fra en følge   ved å velge ut en delmengde av leddene, men beholde rekkefølgen. La   være en monoton voksende følge av naturlige tall. En delfølgen kan da skrives som

 

Som eksempel er   en delfølge av følgen  .

Dersom delfølgen er konvergent med grenseverdi x, sier en at x også er en delfølgegrense for følgen  .

Bolzano-Weierstrass' teorem kan formuleres som at en hver begrenset følge av reelle tall inneholder en konvergent delfølge.

CauchyproduktRediger

Cauchyproduktet av to følger   og   er definert som en ny følge   der hvert ledd er definert ved summasjonen

 

EksemplerRediger

Eksempel 1: Aritmetiske følgerRediger

En aritmetisk følge er en tallfølge der differensen mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

 

Aritmetiske følger er divergente for alle verdier av konstanten d ulik null.

Eksempel 2: Geometriske følgerRediger

En geometrisk følge er en tallfølge der forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

 

Følgene konvergerer mot null dersom absoluttverdien av konstanten k er mindre enn 1.

Eksempel 3: Harmoniske følgerRediger

I en harmonisk følge er leddene definert som inversen av leddene i en aritmetisk følge. Dersom følgen   er en aritmetisk følge med ledd ulik null, så vil   være en harmonisk følge. Leddene i en harmonisk følge kan defineres ved

 

der d er en konstant slik at (-1/d) ikke er et naturlig tall.

Eksempel 4: FibonaccifølgeRediger

En fibonaccifølge er definert rekursivt ved

 

Fibonaccifølgen er divergent.

Eksempel 5: Følge for EulertalletRediger

 

Grenseverdien er Eulertallet e.

Eksempel 6Rediger

 

Eksempel 7Rediger

 

Se ogsåRediger

LitteraturRediger