Asymptote

En asymptote til en funksjon er i analytisk geometri en rett linje som funksjonen nærmer seg når argumentet eller funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig.[1] Noen forfattere krever at funksjonen ikke krysser asymptoten uendelig mange ganger, men dette er ikke et vanlig krav.[2] Alternativt kan en asymptote defineres som tangenten til grafen til funksjonen i uendelig.[3]

Grafen til funksjonen , med x- og y-aksene som asymptoter

Når er en asymptote til funksjonen , så kan dette også uttrykkes som at nærmer seg asymptotisk, når går mot en gitt grenseverdi.

En asymptote kan være vertikal, horisontal eller skrå. Beskrivelse av eventuelle asymptoter er en viktig del av kartleging av egenskapene til en funksjon. En parabel har ingen asymptoter, eksponentialfunksjonen har én, hyperbelen har to og tangensfunksjonen har uendelig mange asymptoter.

En asymptote er vanligvis en rett linje, men begrepet kan generaliseres til å gjelde en vilkårlig kurve, en kurvelineær asymptote.

Navnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes».

Formell definisjonRediger

En funksjon   har en asymptote   når   går mot uendelig dersom

 

Tilsvarende vil   være en asymptote for funksjonen når   går mot minus uendelig dersom

 

Uttrykket sier at avstanden mellom funksjonen og asymptoten stadig blir mindre når   vokser mot pluss eller minus uendelig. For   vil asymptoten være horisontal, for alle andre verdier vil asymptoten være skrå.

Funksjon har en loddrett asymptote   dersom funksjonen går mot pluss eller minus uendelig når   nærmer seg  , enten ovenfra, nedenfra eller fra begge sider. Dette er oppfylt dersom minst ett av de følgende uttrykkene er sann:

 
 

EksemplerRediger

EksponentialfunksjonenRediger

Eksponentialfunksjonen   har én asymptote: Når   går mot minus uendelig vil funksjonen nærme seg den horisontale asymptoten  .

HyperbelenRediger

En hyperbel har to asymptoter. Eksempelvis vil hyperbelen   ha både  - og  -aksen som asymptoter.

En oscillerende funksjonRediger

 
En oscillerende funksjon med x-aksen som asymptote

Funksjonen definert ved

 

oscillerer omkring  -aksen og krysser aksen uendelig mange ganger. Denne aksen er en asymptote, så lenge en ikke stiller krav til antall skjæringspunkt mellom funksjonsgrafen og asymptoten.

TangensfunksjonenRediger

Tangensfunksjonen   har uendelig mange vertikale asymptoter, definert for verdiene

 

Metoder for å bestemme asymptoterRediger

Generell metode for å finne en skrå asymptoteRediger

For en gitt funksjon   kan en undersøke om funksjonen har en asymptote   ved først å undersøke grenseverdiene

 

Her må en undersøke både når   går mot minus og pluss uendelig, det vi si at   enten er lik   eller  . Dersom en grenseverdi er endelig, så har funksjonen en skrå asymptote. Da kan den andre koeffisienten   bestemmes ved

 

Som illustrasjon kan en undersøke funksjonen gitt ved

 

Her eksisterer grenseverdier for   både når   går mot minus og pluss uendelig:

 

For den andre koeffisienten finner en

 

Det vil si at den rette linja   er en skrå asymptote både når   går mot minus og pluss uendelig.

Vertikale asymptoterRediger

En funksjon som kan skrives som et kvotientuttrykk

 

vil ha vertikale asymptoter i nullpunkter til funksjonen  , dersom   er ulik null for disse verdiene. For en verdi av   der både   og   har et nullpunkt, kan en bruke l'Hôpitals regel for å finne grenseverdien for   når   nærmer seg dette nullpunktet.

Rasjonale funksjonerRediger

En rasjonal funksjon er en funksjon på formen

 

der både   og   er polynomer. Som beskrevet i forrige avsnitt vil funksjonen ha vertikale asymptoter i nullpunkt til funksjonen  , dersom   er ulik null for disse verdiene.

Dersom polynomene   og   er av samme grad, så vil funksjonen ha en horisontal asymptote  , der   er lik forholdet mellom koeffisientene til den høyeste potensen i teller og nevner. Den følgende funksjonen vil for eksempel ha en horisontal asymptote lik  :

 
Grafen til den rasjonale funksjonen  , med en skrå asymptote i rødt
 

En rasjonal funksjon der graden til   er lik graden til   pluss 1 kan ha en skrå asymptote. Denne kan en finne ved å utføre polynomdivisjon. Som eksempel kan se på funksjonen

 

Når   går mot uendelig vil det siste leddet i det høyre uttrykket gå mot null. Funksjonen har derfor asymptoten   når   går mot uendelig. Funksjonen har også en vertikal asymptote i  .

Dersom graden til   er større enn graden til   pluss 1, så vil funksjonen ikke ha rette linjer som asymptoter. Den kan imidlertid ha en kurvelineær asymptote.

Kurvelineære asymptoterRediger

 
En kurvelineær asymptote til funksjonen  

Vanligvis vil en asymptote være definert som en rett linje. Det er imidlertid mulig å generalisere begrepet til å omfatte en vilkårlig plan kurve. La A være en plan parametrisk kurve, definert ved koordinatene  . Anta at avstanden mellom et punkt på kurven og origo går mot uendelig når parameteren   går mot en gitt grense   (som kan være uendelig). La B være en annen gitt kurve, og anta at den korteste avstanden mellom A og 'B går mot null når   går mot  . Kurven B sies da å være en kurvelineær asymptote til A, i motsetning til en vanlig definert lineær asymptote.[trenger referanse]

Som eksempel, så har funksjonen

 

en kurvelineær asymptote gitt ved

 .

Denne omtales som en parabolsk asymptote, siden kurven B er en parabel.

EtymologiRediger

Navnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes».[4] Adjektivet asymptotus (fem. asymptota) kommer igjen fra gammelgresk ἀσύμπτωτος asýmptōtos («ikke-sammenfallende»), jfr. ἀ- («ikke-») + συν- («sammen», «med») + πτωτός perfektum partisipp m av «å falle»).

ReferanserRediger

  1. ^ G. Thomas, R. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7.  s.390
  2. ^ L.A. Talman (2006). «Asymptotes» (PDF) (engelsk). 
  3. ^ J.D. Lawrence (1972). A Catalog of Special Plane Curves. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60288-2.  s.31
  4. ^ S. Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. (engelsk). Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9.  s.30

LitteraturRediger

  • Adams, Robert (2003). Calculus: A Complete Course (engelsk). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5. 
  • Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. 
  • Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus. Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3.