Norm (matematikk)

matematisk funksjon

En norm er i matematikk en funksjon som tilordner en lengde til enhver vektor i et vektorrom. Lengden er en reell skalar og vil være positiv for alle vektorer, bortsett fra for nullvektoren, som har lengde lik null.

Et vektorrom er en spesiell type metrisk rom, der en i tillegg til avstandsmålet i et metrisk rom også har formalisert begrepet lengde av individuelle elementer i rommet. I og med at normen introduserer et avstandsmål i rommet, vil normen også introdusere en topologi i rommet.

Et vektorrom der det er definert en norm kalles et normert rom eller et normert vektorrom. Et gitt vektorrom kan være utgangspunkt for en rekke forskjellige normerte rom, alt etter hvilken norm som defineres i rommet.

Dersom alle Cauchyfølger i rommet konvergerer mot en grense som også ligger i rommet, sies vektorrommet å være komplett. Et komplett normert vektorrom kalles et Banachrom.

Formell definisjon

rediger

La   være et vektorrom over en kropp  , der   er enten   eller  . En norm  er en funksjon   slik at

  1.   for alle   med likhet hvis og bare hvis  ;
  2.   for alle   og alle  ;
  3.   for alle  

Den siste ulikheten kalles trekantulikheten.

Egenskaper

rediger

En vilkårlig norm vil alltid oppfylle relasjonen

 ,

som kalles den omvendte trekantulikheten.

To normer || ||1 og || ||2 definert i samme vektorrom sies å være ekvivalente dersom det eksisterer konstanter m og M slik at

 

Den euklidske normen

rediger

En velkjent norm for vektorrommene R2 og R3 er den såkalte euklidske normen. Definisjonen av denne normen samsvarer med det man normalt vil forbinde med lengden av en vektor eller et linjestykke.

For en vektor v = (x, y) i planet R2 er den euklidske normen definert ved

 .

For en vektor v = (x, y, z) i det tre-dimensjonale rommet R3 er den euklidske normen definert ved

 .

Mer generelt kan en definere en euklidsk norm som en norm avledet fra et indreprodukt:

 .

Det euklidske rommet er utstyrt med en euklidsk norm, sammen med et indreprodukt.[1]

p-normer i koordinatrom

rediger
 
Enhetssirkler i R² mht. forskjellige normer.

For vektorrommet Rk, der k er et vilkårlig positivt heltall, vil en vektor kunne skrives på forma

 ,

der xi er koordinatene i rommet. For et slikt koordinatrom kan en definere en familie av normer kalt p-normer eller også Hölder-normer:

 .

Den euklidske normen er identisk med 2-normen. Den følgende normen regnes som et spesilatilfelle i familien, ved å la p gå mot uendelig:

 

Figuren til høyre viser området i R2 definert av enhetssirkelen   for ulike verdier av n.

Trekantulikheten for disse normene er et spesialtilfelle av Minkowskis ulikhet:[2]

 

p-normer i funksjonsrom

rediger

Vektorrommet av funksjoner f (t ) definert på intervallet mellom 0 og 1, og med egenskapen

 

kan utstyres med normen

 

Det normerte rommet som defineres på denne måten betegnes ofte med Lp[0,1].

Operatornormen

rediger

En lineær transformasjon   mellom normerte vektorrom sies å være begrenset dersom det eksistere en konstant   slik at

 

Den minste mulige slike   kalles operatornormen til   Definisjonen kan også uttrykkes ved

 .

Matrisenormer

rediger

Siden en matrise representerer en linær transformasjon mellom endelig-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av en norm for generelle lineære transformasjoner også for en matrise. Basert på denne generelle definisjonen kan en lage en rekke ulike normer for matriser, og noen av disse opptrer under flere alternative navn. Et velkjent eksempel er 2-normen, også kalt euklidsk norm, Froebenius-norm, Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:[3]

 

Se også

rediger

Referanser

rediger
  1. ^ Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill. ISBN 0-07-085613-3. 
  2. ^ R.D. Milne: Applied functional analysis..., The Hôlder and Minkowski inequalities, s.271
  3. ^ Helmut Lütkepohl (1996). Handbook of Matrices. Chichester: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-97015-8. 

Litteratur

rediger
  • Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

Eksterne lenker

rediger