Åpne hovedmenyen

Topologi (fra gresk topos, 'sted' og logos, 'lære') er en gren av moderne geometri. Denne matematiske disiplinen har tidligere gått under navnet analysis situs.

Områder i geometri
Algebraisk geometri
Differensialgeometri

Liegrupper
Riemannsk geometri

Euklidsk geometri

Pythagoras' læresetning

Ikke-euklidsk geometri

Elliptisk geometri
Sfærisk geometri
Hyperbolsk geometri
Projektiv geometri

Topologi

Algebraisk topologi
Generell topologi

Trigonometri

I topologien behandles topologiske rom, det vil si figurer, legemer, rom, flater, kurver og så videre, og de egenskapene som avhenger av hvordan det topologiske rommet «henger sammen». Eksempelvis er dimensjoner en topologisk egenskap, mens størrelse og plassering er ikke slike egenskaper. Topologi kan derfor betegnes som «gummigeometri». Topologi deles gjerne i to deldisipliner: punktmengdetopologi og algebraisk topologi.

Eksempelvis er en kule og en kube det samme topologiske rommet, men begge er ulik en sirkel.

Begrepet topologi blir også brukt i forbindelse med retorikk og dialektikk.

DefinisjonRediger

 
Kontinuerlig deformasjon mellom en kaffe­kopp og smulte­ring (torus) som viser at disse formene er topo­logisk ekvi­valente eller homeo­morfe. En homeomorfi er en inver­ter­bar avbild­ning av et topo­logisk rom på et annet, slik at både avbild­ningen og den inverse avbild­ningen er entydig og kontinuerlig.

En topologi på en mengde beskriver hvilke delmengder som skal betraktes som åpne. Mer presist er et par   et topologisk rom dersom   er en mengde og   er en mengde delmengder av   slik at

  • både den tomme mengden   og   er i  ,
  • en vilkårlig union av mengder fra   er også i   og
  • et endelig snitt av mengder fra   er også i  .

Delmengdene i   kalles åpne, mens et komplement av en mengde i   kalles lukket.

Alternativt kan en topologi spesifiseres ved å angi en omegnsstruktur.

EksemplerRediger

  • I den trivielle topologien på en mengde   er kun   og   åpne mengder.
  • I den diskrete topologien på en mengde   er alle delmengder åpne.
  • I standardtopologien på de reelle tall,  , er de åpne mengdene alle unioner av åpne intervall. Minnes at en åpne intervall er en mengde  , hvor   og   er i  .

ReferanserRediger


  • Seymour Lipschutz: General Topology. Schaum Publishing co., 1965.
  • Arlo W. Schurle: Topics in Topology. Elsevier North Holland, Inc., 1979.
  • Per Holm og Jon Reed: Topologi. Universitetsforlaget 1990.
 Denne matematikkrelaterte artikkelen er foreløpig kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. (Se stilmanual)