Åpne hovedmenyen

I matematikk er en liegruppe er en gruppe som også er en deriverbar mangfoldighet, slik at gruppeoperasjonen og inversen er glatte avbildninger.

Alternativt kan man definere en liegruppe som at mangfoldighetsstrukturen og avbildningene skal være glatte. Hilberts 5. problem handler om hvorvidt disse to definisjonene er ekvivalente, og svaret er ja. Dette ble bevist av blant andre Gleason, Montgomery og Zippin på 50-tallet.

Et eksempel er de reelle tallene med gruppeoperasjon og standardtopologien: Her er gruppeoperasjonen

kontinuerlig, og det samme gjelder inversfunksjonen

.

Et annet eksempel er den generelle lineære gruppen og alle dens lukkede delmengder.

Navnet liegruppe kommer fra den norske matematikeren Sophus Lie, som arbeidet med differensialligninger, og oppdaget at løsningene han fant hadde symmetrier. Hans arbeide med disse symmetriene la grunnen for den moderne geometrien, der liegrupper og deres operasjoner på topologiske rom spiller mange av hovedrollene.

Formell definisjonRediger

En liegruppe består av en trippel   der   er en mengde,   er en binær operasjon på mengden og   er en topologi på mengden, slik at   er en gruppe,   er en deriverbar mangfoldighet, og avbildningene   og   gitt av  , og  , er glatte.