Fakultet (matematikk)

Fakultet eller fakultetsfunksjonen er matematisk funksjon som har naturlige tall som argument. Er dette tallet n, så defineres verdien av funksjonen som produktet av alle tall fra 1 til n. Når argumentet er n, betegnes funksjonen med symbolet n ! som leses som n-fakultet.

Plott av den naturlige logaritmen til fakultetsfuksjonen.

For eksempel er 4! = 1⋅2⋅3⋅4 = 24, mens 5! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 5⋅24 = 120. Funksjonsverdiene definerer en uendelig tallfølge som begynner med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 og så videre. Verdiene vokser raskt for økende argumentet, og man kan vise at økningen er større enn for eksponentialfunksjonen. En grafisk fremstilling av logaritmen til funksjonen vil derfor være en svakt buet kurve som krummer oppover.

Funksjonen opptrer i mange sammenhenger i ren matematikk. Den har mange andre anvendelser, spesielt innen kombinatorikk, sannsynlighetsregning og statistisk mekanikk.

Notasjonen n ! ble innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.

Definisjon

Formelt kan en definere fakultetsfunksjonen av det positive heltallet n ved produktet

$n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n$

slik at 1! = 1. Dette er ekvivalent med den rekursive definisjonen

$n!=n(n-1)!$

som er gyldig når man også definerer

$0!=1\$.

For negative heltall eksisterer ikke fakultetsfunksjonen. Hvis man prøver å bruke definisjonen, så ville man for eksempel måtte ha 0! = 1 = 0⋅( -1)!. Men i så fall betyr det at ( -1)! = 1/0 som er definisjonen av et uendelig stort tall. Dette passer inn med egenskapene til gammafunksjonen som er en utvidelse av fakultetsfunksjonen til å gjelde både for reelle og komplekse tall. Den har poler for alle negative heltall der funksjonen divergerer.

Bruk

Fakultet opptrer naturlig i mange problemer i kombinatorikk. Har man for eksempel tre objekt A, B og C, så kan de ordnes på 3! = 6 forskjellige måter. De kan skrives som ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Med n forskjellige objekt, kan det være n forskjellige på førsteplass i en slik ordning. Når den er fylt, er det n - 1 muligheter for hva som kan stå på andreplass. Og slik fortsetter det til det er bare et objekt igjen. Totalt antall forskjellige ordninger er derfor n⋅(n - 1)⋅(n - 2)⋅...⋅1 = n !. Funksjonen gir altså antall permutasjoner av n forskjellige objekt.

Likedan hvis man har n objekt med k forskjellige farger, så kan de ordnes i en rekke et visst antall ganger som er gitt ved binomialkoeffisientene

${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$

som inngår i binomialformelen.

Bruken av fakultet forenkler også notasjonen i arbeid med følger og rekker. For eksempel, den grunnleggende Taylor-rekken inneholder i hvert ledd et fakultet. For en funksjon f(x) utviklet om punktet x = a sier den at

$f(x)=f(a)+{1 \over 1!}f'(a)(x-a)+{1 \over 2!}f''(a)(x-a)^{2}+{1 \over 3!}f^{(3)}(a)(x-a)^{3}+\cdots$

Eksponentialfunksjonen er derfor gitt ved rekken

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots$

Mange andre funksjoner har verdier som involverer det matematiske fakultet på lignende måter.

Dobbeltfakultet

Notasjonen n ! for fakultetsfunksjonen er en kompakt notasjon for produktet 1⋅2⋅3⋅...⋅n  som for store verdier av n  kan bli upraktisk langt å skrive. På samme måte skrives ofte produktet av alle oddetall fra 1 opp til et til et ulikt tall m som dobbeltfakultetet m !! og definert ved

$(2n-1)!!=(2n-1)\cdot (2n-3)\cdots 3\cdot 1=\prod _{k=1}^{n}(2k-1)={(2n)! \over 2^{n}n!}$

På samme måte kan man definere dobbeltfakultet av et like tall som

$(2n)!!=2n\cdot (2n-2)\cdot (2n-4)\cdots 4\cdot 2=\prod _{k=1}^{n}(2k)=2^{n}n!$

For eksempel er 6!! = 6⋅4⋅2 = 48, mens 7!! = 7⋅5⋅3⋅1 = 105. Dobbeltfakultet nyttes ofte innen kombinatorikk.

Gammafunksjonen

Gammafunkjonen interpolerer resultat fra fakultets-funksjonen og gir verdier når argumentet ikke er heltallig.

$\int _{0}^{\infty }\!dte^{-at}=-{\Big (}{1 \over a}{\Big )}e^{-at}{\Big |}_{0}^{\infty }={1 \over a}$

Ved å derivere begge sider av dette uttrykket med hensyn på parameteren a, får man

$\int _{0}^{\infty }\!dt\,t\,e^{-at}={1! \over a^{2}}$

Enda en derivasjon gir

$\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{2}\,e^{-at}={2! \over a^{3}}$

som ved fortsatte derivasjoner gir det generelle resultatet

$\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{n}\,e^{-t}=n!$

etter å ha satt parameteren a = 1. Her var n ment å være et naturlig tall, men integralet på venstre side eksisterer også når n positivt, reelt tall. Integralet kan derfor tas som en ny definisjon av fakultetsfunksjonen som gir kontinuerlige verdier som interpolerer mellom de diskrete verdiene som den opprinnelige definisjonen ga. I tillegg gir den automatisk at 0! = 1.

Plott av gammafunksjonen langs den reelle aksen.

Dette er essensielt definisjonen av gammafunksjonen

$\Gamma (n+1)=n!$

som ble funnet av Leonhard Euler rundt 1730. Sammen med egenskapen n ! = n⋅(n - 1)! gir den funksjonsverdien for alle reelle tall bortsett fra de negative heltallene n = -1, -2, -3, etc hvor den divergerer. I tillegg gir denne nye definisjonen innhold til funksjonen også for komplekse argument.

En anvendelse

Et enkelt eksempel på bruk av gammafunksjonen til å beregne fakultetet av et tall som ikke er helt, er å finne (1/2)!. Fra definisjonen følger det at

$(1/2)!=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{1/2}\,e^{-t}$

Skifter man her til ny integrasjonsvariabel ved å sette t = u² slik at dt = 2udu, tar integralet formen

$(1/2)!=2\int _{0}^{\infty }\!du\,u^{2}\,e^{-u^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }\!du\,u^{2}\,e^{-u^{2}}={1 \over 2}{\sqrt {\pi }}$

hvor verdien på høyre side kommer fra det mer vanlige Gauss-integralet som blir benyttet ved normalfordelingen.

Herfra kan man nå utlede alle mulige verdier for fakultetsfunksjonen med halvtallig argument. For eksempel, ved å bruke definisjonen

$(1/2)!=(1/2)\cdot (-1/2)!$

følger det at (-1/2)! = √π  som er verdien av det fundamentale Gauss-integralet.

Stirlings formel

Relativ nøyaktighet av Stirlings formel for n !

Omtrent samtidig med at Euler viste hvordan gammafunksjonen kunne uttrykkes ved et integral fant James Stirling et approksimativt uttrykk for fakultetsfunksjonen for store verdier av argumentet. Dette resultatet kalles Stirlings formel og skrives i dag som

$n!={\sqrt {2\pi n}}n^{n}e^{-n}\left(1+{1 \over 12n}+\cdots \right)$

hvor på høyre side den første korreksjonen er tatt med. Men den alene gir verdier som er meget gode helt ned til de minste verdier av n. For eksempel, for n = 3  gir den 5.998 i stedet for 3! = 6, mens den for n = 4 gir 23.996 i stedet for 4! = 24.

Formelen til Stirling er algebraisk og kan benyttes for argument n som ikke behøver å være naturlige tall. Den kan derfor benyttes både for reelle og komplekse verdier av n. Dette har stor betydning for numerisk beregning av gammafunksjonen for slike argument. For eksempel, for å finne en nøyaktig verdi av (1/2)! kan man starte med et noe større, halvtallig argument som 5/2 og benytte formelen til utregning av (5/2)! med en nøyaktighet på rundt en promille. Ved å så å bruke definisjonen (5/2)! = (5/2)⋅(3/2)⋅(1/2)!  finner man så (1/2)! med samme nøyaktighet.

For store verdier av argumentet n viser formelen at n-fakultet vokser raskere enn et vilkårlig polynom P(n) og også fortere enn eksponensialfunksjonen med argument n. Det kommer spesielt frem ved å ta logaritmen til n ! hvor de dominerende leddene er

$\log n!\approx n\log n-n+\cdots$

På denne formen brukes formelen i forskjellige sorteringsalgoritmer og innen statistisk mekanikk hvor argumentet n er gitt ved antall partikler i systemet. For et makroskopisk system er dette av orden 10²³ slik at det første leddet er fullstendig dominerende.

Litteratur

• A. Søgaard og R. Tambs-Lyche, Matematikk III for Realgymnaset, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
• R. Tambs-Lyche, Lærebok i Matematisk Analyse, Volum III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1959).
• M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker

• http://factorielle.free.fr
• Beregning av fakultet (N≤40000)