Algebra

Algebra (fra arabisk: al-jabr «forening, kombinasjon») er en gren innen matematikken som kan beskrives som en generalisering og utvidelse av aritmetikken.

Områder i algebra

Abstrakt algebra

Grupper Ringer Kropper

Algebraisk geometri

Elementær algebra

Ligninger Funksjoner

Kombinatorikk

Lineær algebra

Vektorrom Matriser

Tallære

Ordet ble først brukt av den persiske matematikeren al-Khwârizmî, som brukte ordet for å beskrive den handlingen han gjorde når han forenklet en ligning. I moderne tid betegner ordet algebra blant annet abstrakt algebra og kommutativ algebra.

Algebraens historie

Algebraen utviklet seg ut fra et ønske om å løse ligninger, og fra gammelt av har ordet blitt oversatt med «læren om ligninger». I skolens algebra er fokus stadig på manipulasjon av bokstavuttrykk og løsning av ligninger. Det er vanlig å skille mellom tre ulike stadier i algebraens historie: retorisk algebra, synkopert algebra og symbolsk algebra.

Retorisk algebra

Den perioden hvor vi snakker om retorisk algebra regner vi gjerne går fram til den greske matematikeren Diofant omkring 250 e.Kr., men i mange kulturer går det enda lenger. På denne tiden ble alle matematiske oppgaver skrevet med vanlige ord, og der vi ville brukt $x$-er og $y$-er brukte de fulle setninger for å forklare sammenhengene. Retorisk algebra stammer fra Egypt og Mesopotamia for omkring 4000 år siden. Hovedkildene fra den egyptiske matematikken er Moskva-papyrusen og Rhind-papyrusen. Mange av de praktiske problemene fra denne papyrusen leder til enkle lineære ligninger. Egypterne hadde metoder for å løse både lineære ligninger og andregradsligninger.

Vår kunnskap om matematikk i det gamle Mesopotamia har vi hovedsakelig fra funn av en rekke leirtavler. Omkring 2000 f.Kr. hadde babylonerne utviklet en retorisk algebra. De kunne blant annet løse andregradsligninger ved å lage et fullstendig kvadrat. Ellers brukte de en metode som besto av gjentatte gjetninger og justeringer. Også i andre kulturer, som Kina og antikkens Hellas, finner vi retorisk algebra.

Al-Khwârismî og andre matematikere fra "Den islamske gullalderen" regnes også til den retoriske tradisjonen, og de skrev heller ikke bokstavsymboler i sin matematikk. Også hos Leonardo av Pisa var stilen retorisk.

Synkopert algebra

Den perioden som vi betegner som synkopert algebra går fra Diofant til François Viète på slutten av 1500-tallet. Diofant var den første som brukte symboler for ukjente størrelser, og disse var en slags forkortelser i en ellers retorisk framstilling av de matematiske problemene. Fra Diofant og fram mot Viète var det en forsiktig utvikling av symbolbruk blant matematikerne. I Europa i renessansen begynte utviklingen av symbolbruk å gå noe raskere, og de italienske regnemestrene begynte å ta i bruk forkortelser for ukjente. På slutten av 1500-tallet var bokstavene $p$ og $m$ begynt å bli vanlig i bruk som symboler for pluss og minus, mens tyskeren Johannes Müller Regiomontanus sannsynligvis var den første som brukte symbolene $+$ og $-$ i en tekst fra 1456. Likhetstegnet ($=$) ble innført i 1557 av Robert Recorde, og Gottfried Leibniz innførte prikksymbolet ($\cdot$) for multiplikasjon i 1686. I 1659 ble det første divisjonstegnet trykt i en bok av Johann Henrich Rahn.

Symbolsk algebra

Interessen for matematikk vokste i Europa mot slutten av middelalderen, og sakte, men sikkert ble verkene til de gamle mesterne gjenoppdaget. I renessansen blomstret så den europeiske matematikken opp, blant annet med de italienske regnemestrene som kunne løse ligninger av både tredje og fjerde grad. Det var i denne perioden den algebraiske symbolbruken begynte å utvikle seg fram mot vår "moderne" notasjon. Vi regner med at det var den franske matematikeren François Viète som innledet den perioden som vi kaller for symbolsk algebra, og hans abstraksjon, symbolbruk og notasjon gjorde algebraen mye lettere tilgjengelig for de matematikerne som fulgte etter. Den symbolske algebraen la også grunnlaget for store framskritt i utviklingen av funksjonsbegrepet og analytisk geometri.

På 1600-tallet grunnla René Descartes analytisk geometri, som vi kan se på som anvendelse av algebra på geometrien. I samme århundre gjorde Pierre de Fermat flere oppdagelser innenfor tallteorien, og dette kan vi se på som anvendelse av algebra på studiene av egenskapene til de hele tallene. I det påfølgende århundret finner vi blant annet arbeidene til Isaac Newton og Leonhard Euler, og i 1799 offentliggjorde Carl Friedrich Gauss sitt berømte bevis for algebraens fundamentalteorem. Så, i 1824, offentliggjorde den norske matematikeren Niels Henrik Abel det første av sine banebrytende arbeider innenfor algebra: beviset for at det er umulig å løse allmenne ligninger av høyere enn 4. grad gjennom rotutdragning.

Senere kjente navn innenfor algebraen er Évariste Galois, Charles Hermite og Leopold Kronecker.

Hovedområder i algebra

Algebra omfatter blant annet følgende temaer:

• Elementær algebra, hvor ligninger blir studert.
• Lineær algebra, hvor den delen av matematikken som omhandler vektorer og lineære transformasjoner blir studert.
• Abstrakt algebra, hvor algebraiske strukturer som grupper, ringer, og kropper blir studert.
• Kommutativ algebra, hvor man ser på egenskaper knyttet til ringer, idealer og moduler.
• Universell algebra, hvor man ser på egenskaper som er felles for alle algebraiske strukturer.

Anvendelser av algebra

I moderne matematikk danner kommutativ algebra et redskap for blant annet algebraisk geometri, algebraisk tallteori og algebraisk topologi.

Eksterne lenker

•  (en) Algebra – kategori av bilder, video eller lyd på Commons
• Algebraens historie – Av Elna Svege (Høgskolen i Agder) og Steinar Thorvaldsen (Høgskolen i Tromsø)
• Enkel algebra, video fra Khan Academy (engelsk)