Åpne hovedmenyen

I matematikken betegner en kropp (på engelsk field) en mengde av elementer (for eksempel tall) hvor man kan utføre operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.[1]

DefinisjonRediger

En kropp er en mengde K med to operasjoner: Addisjon + : K x KK og multiplikasjon · : K x KK. Notasjonsmessig skriver man ofte ab i stedet for a·b. Disse to operasjonene tilfredsstiller

Kommutativitet α + β = β + α og αβ = βα for alle α, βK
Assosiativitet α + (β + γ) = (α + β) + γ og α(βγ) = (αβ)γ' for alle α, β, γK
Identiteter Det finnes elementer 0, 1 ∈ K, 0 ≠ 1, slik at 0 + α = α og = α for alle αK
Invers For hvert element αK finnes det et element (-α) ∈ K slik at α + (-α) = 0. For alle β ≠ 0 ∈ K, finnes det et element β-1K slik at β β-1 = 1.
Distributivitet α(β + γ) = αβ + αγ for alle α, β, γK

Med andre ord, en kropp er en kommutativ ring der alle elementene er inverterbare.

EksemplerRediger

  • De rasjonale tallene  , de reelle tallene   og de komplekse tallene   er kropper.
  • De hele tallene   er ikke en kropp siden ingen tall unntatt -1 og 1 har en invers.
  • For hvert primtall   er heltallene modulo   en kropp  . Dette er en endelig kropp.
  • For hvert primtall   gir  -adisk komplettering av de rasjonale tallene kroppen   av  -adiske tall.

ReferanserRediger

  1. ^ John B. Fraleigh (1982). A First Course in Abstract Algebra. Addison-Wesley. s. 209-211. ISBN 0-201-10406-7. 
Områder i algebra
Abstrakt algebra

Grupper
Ringer
Kropper

Algebraisk geometri
Elementær algebra

Ligninger
Funksjoner

Kombinatorikk
Lineær algebra

Vektorrom
Matriser

Tallære