Eksponentialfunksjon

Den naturlige eksponentialfunksjonen

Eksponentialfunksjonen er i matematikk en elementær funksjon på formen

der er en vilkårlig reell eller kompleks konstant. Konstanten er kalt grunntallet. Funksjonen kan være definert for reelle eller komplekse argument. For den reelle funksjonen er grunntallet et positivt reelt tall, mens for den komplekse funksjonen kan grunntallet være vilkårlig komplekst.

Som funksjon av en reell variabel er funksjonen karakterisert ved at vekstraten, eller den deriverte av funksjonen, er proporsjonal med funksjonsverdien. Denne egenskapen omtales av og til som «loven om naturlig vekst» eller «loven om eksponentiell vekst». Funksjonen brukes til å beskrive en lang rekke fenomen i naturen, inkludert bakteriell vekst, radioaktiv omdanning og økonomisk vekst.

Spesielt viktig er grunnformen der grunntallet er lik eulertallet :

Denne funksjonen skrives også som . Funksjonen defineres vanligvis formelt ved hjelp av en uendelig rekke, men flere alternative definisjoner eksisterer.

Grunnformen av eksponentialfunksjonen er invers funksjon til den naturlige logaritmefunksjonen og kalles derfor også for den naturlige eksponentialfunksjonen. Funksjonen er kontinuerlig og analytisk i hele det komplekse planet. Den deriverte av den naturlige eksponentialfunksjonen er lik funksjonen selv.

PotensintroduksjonRediger

Eksponentialfunksjonen for et reelt grunntall kan innføres ved hjelp av potensuttrykk,[1] selv om det ikke er vanlig å definere funksjonen formelt på denne måten. En definerer da funksjonen trinnvis for ulike typer reelle tall.

La   være et vilkårlig positivt reelt tall større enn 1. Når argumentet er er positivt naturlig tall   definerer en

 .

I tillegg definerer en  .

For et rasjonalt tall på format   definerer en   som det positive tallet   som er slik at  .

Funksjonen for et vilkårlig rasjonalt tall   er deretter definert ved

 

Eksponentialfunksjonen er nå definert for alle rasjonale tall, og en kan vise at funksjonen oppfyller regnereglene for potenser:

 

Funksjonen er også strengt voksende for rasjonale argument. For et vilkårlig reelt tall   kan en fylle ut definisjonen ved verdier «mellom» rasjonale argument, som

 

Her er   en forkortelse for supremum. For et (positivt) grunntall mindre enn 1 definerer en

 

For et negativt argument bruker en

 

Det kan da vises at funksjonen oppfyller regnereglene for potensfunksjonene for et vilkårlig argument.

Formell definisjonRediger

Både for reelle og komplekse argument eksisterer det flere alternative formelle definisjoner av eksponentialfunksjonen.

Den reelle grunnformenRediger

Grunnformen av ekspoentialfunksjonen med reelle argument kan defineres som en uendelig rekke:[2]

 

Forholdskriteriet viser at potensrekken konvergerer absolutt for alle verdier av argumentet  . Definisjonen av eulertallet får en med  :

 

En alternativ definisjon er gitt som en grenseverdi:[3]

 

Et tredje (mindre vanlig) alternativ er å definere funksjonen som den inverse funksjonen til den naturlige logartimefunksjonen. En definerer da   ved ligningen

 

Integralet definerer logaritmefunksjonen.

Et fjerde alternativ er å definere eksponentialfunksjonen som en uendelig mange ganger deriverbar løsning av differensialligningen

 

Fra denne definisjonen følger det at alle deriverte for   er lik 1, og teori for Taylorrekker gir da at funksjonen er lik den uendelige potensrekken som ble brukt i det første definisjonsalternativet.

Den komplekse grunnformenRediger

For komplekse argument kan eksponentialfunksjonen definere ved samme rekkeformel som for reelle argument.[2].

Alternativ kan en definere funksjonen som en utviding av den reelle funksjonen til hele det komplekse planet, slik at funksjonen er overalt analytisk. Dette kan gjøres ved å definere funksjonen for et vilkårlig kompleks argument   ved[4]

 

Fot   reduserer funksjonen seg til den reelle funksjonen. Da funksjonen har kontinuerlige første-ordens deriverte og Cauchy-Riemann-ligningene er oppfylt, er funksjonen analytisk i hele det komplekse planet.

For et rent komplekse tall   svarer dette uttrykket til Eulers formel:

 

Fra Eulers formel følger også sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene:

 

Vilkårlig grunntallRediger

Funksjonen med et vilkårlig grunntall kan defineres ved hjelp av grunnformen:

 

For at funksjonen skal være entydig må logaritmeuttrykket presiseres.

Sammenhengen med grunnformen gjør at den generelle funksjonen ofte skrives som

 

der   og   er parametre. I modellering av ulike vekst- eller reduksjonsprosesser kan alternative former for konstanten   opptre under ulike navn, for eksempel som halveringstid, tidskonstant, halveringsfaktor, vekstfaktor osv.

Variasjon i den reelle funksjonenRediger

 
Ekponentialfunkjoner med grunntall (1/2) og 2

Eksponentialfunksjonen med vilkårlig grunntall   og konstant   er:

 

Når grunntallet er større enn 1 vil funksjonen være positiv og strengt monotont voksende. Funksjonen vokser mot uendelig når argumentet går mot uendelig. Funksjonen går mot null når argumentet går mot minus uendelig. For negative eksponenter avtar funksjonen fortere enn noen potensfunksjon, slik at for grunntall  [2]

 

Når grunntallet er lik 1 vil funksjonen være konstant lik 1.

Når grunntallet er mindre enn 1 vil funksjonen være positiv og strengt monotont minkende. Funksjonen går mot null når argumentet går mot uendelig. Funksjonen går mot uendelig når argumentet går mot minus uendelig.

Egenskaper til grunnfunksjonenRediger

Eksponentialfunksjonen er et eksempel på en transcendent funksjon, en funksjon som ikke kan uttrykkes ved et endelig antall algebraiske operasjoner på polynomfunksjoner.

Ved å bruke rekkedefinisjonen sammen med formler for binomialkoeffisienter kan en vise relasjonen[2]

 

Den reelle funksjonen har verdimengde lik   for grunntall ulik 1. Den komplekse formen har verdimengde lik hele det komplekse planet, bortsett fra origo.

Dette er en egenskap til potensfunksjoner, og det er denne egenskapen som motiverer notasjonen  .

For et rent kompleks tall   svarer potensiering av eksponentialfunksjonen med en heltalseksponent til de Moivres formel:

 

Den komplekse eksponentialfunksjonen er periodisk, med en periode på  :

 

Derivasjon og integrasjonRediger

Ved derivasjon av rekkedefinisjonen ledd for ledd følger det at eksponentialfunksonen oppfyller egenskapen

 

Funksjon er altså lik sin egen derivert og løsning av differensialligningen

 

der  . Fra definisjonen av det ubestemte integralet av funksjonen er også

 

HistorieRediger

Den moderne notasjonen for potens ble innført av René Descartes (1596-1650) i verket La géométrie (Paris, 1637), der han brukte notasjonen   for produktet </math>(b \times b)</math>.[5] Descartes brukte notasjonen kun for heltallige eksponenter, og notasjonen spredde seg fort. John Wallis (1616-1703) og Isaac Newton (1642-1626) brukte begge notasjonen for å omfatte også positive og negative rasjonale tall.[6]

Eksponentialfunksjonen fikk navnet fordi argumentet forekom i eksponenten, et ord laget fra latinsk «ex» = «ut» og perfektum partisipp «ponent» av verbet «ponere» = «å sette». Eksponenten ser satt ut, slik at den kan sees. Navnet er altså basert på den typografiske formen og ikke matematiske egenskaper.[7] Den engelske matematikeren Edmond Halley (1656-1741) har en tidlig referanse til ordet «eksponent» i 1695, i samband med studiet av logaritmer.[5]

Under arbeid med å studere rentes rente innførte Jakob Bernoulli (1655-1705) i 1683 tallet[8]

 

nå kjent som eulertallet  . Jakob Bernoulli visste at grenseverdien eksisterte og var mindre enn 3, men hadde ikke ellers uttrykk for grenseverdien.

Den yngre broren Johann Bernoulli (1667-1748) studerte den reelle potensfunksjonen   og også den mer kompliserte funksjonen  .[8] Han gjorde også de første utvidelser av definisjonen av logartimefunksjonen til å omfatte komplekse tall, i samband med studier av integraler.

Grensedefinisjonen

 

ble først gitt at Leonhard Euler (1707-1783). Euler var også den første til å bruke bokstaven   om konstanten 2,718..., antageligvis motivert av navnet «eksponentialfunksjonen».[9] Bokstaven   forekommer i et upublisert manuskript fra 1727 eller 1728, men dette manuskriptet ble først gitt ut i 1868.[10] I 1736 bruker Euler bokstaven   i Mechanica, og han fortsatte å bruke notasjonen i senere verker. Euler oppdaget potensrekkeutviklingen av eksponentialfunksjonen og utvidet også eksponentialfunksjonen til å omfatte komplekse argument.[11] Eulers formel ble publisert i 1748.

En full forståelse av sammenhengen mellom den komplekse eksponentialfunksjonen og den tilsvarende logaritmefunksjonen kom først gradvis på 1800-tallet, samen med en forståelse av flertydigheten til komplekse funksjoner.[11]

Se ogsåRediger

ReferanserRediger

  1. ^ Hans Fredrik Aas (1974). Forelesningsnotater i matematisk analyse. I. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen.  s.63f
  2. ^ a b c d W. Rudin: Principles of mathematical analysis, s.178ff
  3. ^ G. Thomas, R. Finney (1995). Calculus and analytic geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7.  s.751
  4. ^ R.V Churchill, J.W. Brown, R.F. Verhey: Complex variables and applications, s.52
  5. ^ a b F. Cajori (1913). «History of the exponential and logarithmic concept». The American Mathematical Monthly (engelsk). 20 (1): 5-14. 
  6. ^ F. Cajori (1913). «History of the exponential and logarithmic concept». The American Mathematical Monthly (engelsk). 20 (2): 35-47. 
  7. ^ Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9.  [Exponential]
  8. ^ a b : C.B.Boyer; A history of mathematics s.459ff
  9. ^ : C.B.Boyer; A history of mathematics s.481ff
  10. ^ F. Cajori (2007). A history of mathematical notations. II. Princeton, USA: Cosimo. ISBN 978-1-60206-684-7.  s,13
  11. ^ a b F. Cajori (1913). «History of the exponential and logarithmic concept». The American Mathematical Monthly (engelsk). 20 (3): 75-84. 

LitteraturRediger

  • W. Rudin (1976). Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-085613-3.  s.24
  • R.V Churchill, J.W. Brown, R.F. Verhey (1974). Complex variables and applications. Tokyo: McGraw-Hill Kogakusha. ISBN 0-07-010855-2. 
  • C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3.