Åpne hovedmenyen

I matematikk er den imaginære enhet et komplekst tall med egenskapen . Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall kan skrives på formen , der og er reelle tall. Dersom er lik null sies det komplekse tallet å være rent imaginært

Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler. Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger. Den imaginære enhet er en rot i andregradsligningen .

i og −iRediger

Likningen   har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning   av likningen er fastslått, er også   en løsning.

Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved   er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra  , identiteten og automorfismen som sender   til  . (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til  ; men de er de eneste feltautomorfismene til   hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som reelle 2 × 2-matriser, fordi både   er løsninger av likningen  . I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt enhetssirkelen som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen   har nøyaktig to elementer — identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.

Mulige falske løsningerRediger

Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som  . Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle  , eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

 

Beregningsreglen

  er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall   og  .

Potenser av iRediger

Potensene av   gjentas i en syklus:

 
 
 
 
 
 

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor   er et vilkårlig heltall:

 
 
 
 

i og Eulers formelRediger

Hvis en tar Eulers formel  , og setter inn  , får en

 

Hvis begge sider opphøyes i potensen  , idet en husker at  , får en følgende identitet:

 

Det er lett å fastslå at   har et uendelig antall løsninger på formen

 

hvor   er et vilkårlig heltall.

Alternativt symbolRediger

I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som   for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk strøm.