Åpne hovedmenyen

Integrasjon er en matematisk operasjon som utføres på en matematisk funksjon. Ved å utføre denne operasjonen finner man en ny funksjon, man sier at man finner funksjonens integral. Integrasjon brukes blant annet til å beregne areal og volum.

Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner
Det bestemte integralet av i intervallet er lik arealet mellom kurva og x-aksen.
Se sosial integrasjon for ordets betydning i samfunnsfagene

Integrasjon er på mange måter det motsatte av derivasjon, og kalles i noen sammenhenger også for antiderivasjon. For reelle funksjoner er sammenhengen mellom det ubestemte og det bestemte integralet gitt ved den såkalte fundamentalsatsen for matematisk analyse. Sammen med derivasjon utgjør integrasjon det området man kaller matematisk analyse. Integrasjon kalles også for integrasjonsregning, og derivasjon for differensialregning; samlet betegnet dette som infinitesimalregning. Ligninger som inneholder integral kalles for integralligninger.

Det ubestemte integralet til en reell funksjon er en ny funksjon med egenskapen at den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen. Et slik integral kalles også en antiderivert og en primitiv til den opprinnelige funksjonen. En gitt funksjon kan ha en hel familie av primitiver, der differansen mellom to primitiver er en konstant.

Det bestemte integralet til en funksjon er en generalisert sum av elementer , der summasjonen foregår mellom to funksjonsargument og . Definisjonen bygger på en grenseprosess der antall ledd i summasjonen går mot uendelig, mens størrelsen av hvert element går mot null. For reelle funksjoner av en variabel representerer det bestemte integralet arealet mellom funksjonsgrafen og x-aksen, regnet med fortegn.

Formell definisjon av ubestemt integralRediger

La   være en reell funksjon av en reell variabel, og la   være en ny funksjon med egenskapen at den deriverte av   er lik  

 .

Det ubestemte integralet av   skrives med en langstrakt «s» som i ordet «sum» og er definert ved

 .

Her er   en vilkårlig konstant. Funksjonen   kalles integranden i integralet. Dersom funksjonen   eksisterer sies funksjonen   å være integrerbar.

Eksempler på ubestemte integralRediger

 
 

Formell definisjon av bestemt integralRediger

Definisjonen av et bestemt integral bygger på definisjonen av en partisjon (oppdeling) av det lukkede intervallet  .

Det eksisterer flere ulike definisjoner av et bestemt integral, og presentert her er definisjonen av et Riemannintegral, som igjen er ekvivalent med et Darbouxintegral. For en videre klasse av funksjoner kan en også definere Riemann-Stieltjesintegral og Lebesguesintegral.

PartisjonerRediger

En partisjon er en endelig mengde

 

slik at

 

Bredden til partisjonen   er definert som den største avstanden mellom to påfølgende element:

 

Videre sier en at partisjonen er merket dersom det til hvert par av påfølgende elementer i partisjonen   og   er definert en verdi   slik at

 

Riemann-integrasjonRediger

En Riemannsum for en gitt merket partisjon er definert ved

 

Det bestemte integralet av funksjonen   over intervallet   er definert lik   dersom det for et hver positivt tall   eksisterer en verdi   slik at for alle partisjoner med bredde mindre enn  , så er

 

Notasjon for verdien av integralet   er på forma

 .

Noe mer uformelt kan en si at integralet er lik grenseverdien for Riemannsummen når bredden av partisjonen går mot null, dersom en slik grenseverdi eksisterer. Grenseverdien er lik arealet under grafen til funksjonen, dersom denne er positiv, slik som vist på figurene under.

   

Lesbegue-integrasjonRediger

Riemann-integrasjon kan generaliseres ved Lesbegue-integrasjon. Denne generaliseringen danner grunnlaget for målteori.

Integrerbare funksjonerRediger

En funksjon der grenseverdien for Riemannsummen eksisterer sies å være (Riemann-)integrerbar.

  • Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare.
  • Hvis   er begrenset i   og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er   integrerbar i intervallet.

Eksempel på bestemt integralRediger

Det følgende eksemplene på bestemt integral er basert på det tilsvarende eksempelet for ubestemt integral:

 

Her er brukt den følgende notasjonen, som er vanlig i forbindelse med utregning av bestemte integral:

 

Egenskaper til integralRediger

LinearitetRediger

Integralet er en lineær funksjon med hensyn på integranden:

 

AdditivitetRediger

Integral av samme funksjon over to nabointervall kan summeres:

 

MonotonisitetRediger

Hvis   og   er to funksjoner som begge er integrerbare på intervallet  , og der  , så er

 

Absoluttverdi-integrasjonRediger

Dersom   er integrerbar på intervallet  , så er absoluttverdi-funksjonen   integrerbar, og

 

Uekte integralRediger

 
Utsnitt av grafen til en funksjon hvis integral konvergerer: Ved å la grensene gå mot uendelig, kan man beregne integralet ved å finne grenseverdiene.

Et uekte integral er et integral der integranden   går mot uendelig når argumentet nærmer seg en verdi i integrasjonsområdet, eller der integrasjonsområdet er uendelig. I begge tilfeller må verdien av integralet defineres ved en grenseprosess. For eksempel kan en definere

 .

Et eksempel på et uekte integral av denne typen er

 

Numerisk integrasjonRediger

 
Illustrasjon av trapesintegrasjon: Man deler opp arealet i mindre trapeser, og beregner summen av arealet av alle disse.

Vanligvis kan ikke et integral beregnes eksakt. Man er derfor ofte henvist til å bruke numeriske metoder og elektroniske regnemaskiner. Disse tar vanligvis utgangspunkt i Riemann-summen som definerer integralet. Det er også hensiktsmessig å beregne funksjonsverdiene i diskrete punkt   med konstant avstand  .

Da integrasjon av en funksjon   som beskriver en kurve i  -planet, gir arealet under kurven, kan dette deles opp i mindre deler som kan beregnes mer nøyaktig. Trapesintegrasjon er basert på å dele arealet opp i mindre trapeser. Deles hele integrasjonen opp i   slike interval, har man for integralet

 

hvor   og  . Denne fremgangsmåten kan gjøres mer nøyaktig i form av Simpson-integrasjon eller Romberg-integrasjon.

GeneraliseringerRediger

For funksjoner av flere variable eksisterer det en rekke generaliseringer av integralet, som i hovedsak skiller seg fra hverandre i elementet som funksjonen summeres over.

MultippelintegralRediger

 
Volumet begrenset av en kurve gitt som dobbeltintegral.

For en funksjon av én variabel utføres integrasjonen over et intervall. Tilsvarende kan funksjoner av flere variable integreres over en region   i definisjonsområdet til funksjonen, og resultatet av slik integrasjon kalles et multippelintegral:

 

For funksjoner i to variable kalles integralet et dobbeltintegral. Verdien av et dobbeltintegral til en positiv funksjon svarer til volumet av legemet mellom kurva og planet definert ved   innenfor integrasjonsområdet. Fubinis teorem gir vilkår for når et dobbeltintegral kan beregnes ved suksessivt å integrere over en og en variabel.

Et multippelintegral over et tredimensjonalt område kalles et trippelintegral eller et volumintegral. Et volumintegral over området   kan skrives med både ett og tre integraltegn:

 

LinjeintegralRediger

I et linjeintegral utføres integrasjonen av et vektorfelt over lengde-elementer langs en kurve. Også navnet kurveintegral er vanlig brukt. La   være en kurve i et flerdimensjonalt rom og anta at kurva er definert med en parametrisering  , der parameteren   er inneholdt i intervallet  . La   være et vektorfelt definert i et område som inneholder   og med komponenter i det samme rommet  . Da er linjeintegralet   langs   definert ved

 

Alternativt skrives linjeintegralet også som

 

når  .

FlateintegralRediger

I et flateintegral utføres integrasjon av et skalarfelt over et elementer av en parametriserbar flate. La   være en flate definert for en region   i  -planet. La   være en skalar funksjon definert og begrenset på  . Flateintegralet av   over   er da definert ved

 

Spesielle IntegralerRediger

Eksempel på symmetri:

Definer   til å være en endring av en funksjon av   slik at enhver plass med   erstattes med enten   eller  . La også  

La   og   være definert med følgende identitet:  .

Dersom   er integrerbar i intervallet   vil

 

Dette kan bevises ved å gjøre substutisjonen  

HistorieRediger

Den moderne notasjonen for et ubestemt integral ble innført av Gottfried Leibniz i 1675. Han innførte integrasjonssymbolet som en forlenget «S».

LitteraturRediger

Eksterne lenkerRediger