Trapesintegrasjon

Trapesintegrasjon er en metode i numerisk analyse til beregning av verdien til et bestemt integral av en funksjon y = f(x). Det gjøres ved å erstatte flaten under kurven som funksjonen beskriver, med et trapes eller flere med samme bredde. Nøyaktigheten av beregningen øker med antall slike trapeser man gjør bruk av.

I trapesapproksimasjonen settes arealet under kurven mellom a og b lik med arealet til det røde trapeset.

Bakgrunn

Vanligvis kan ikke et integral beregnes eksakt. Man er derfor ofte henvist til å bruke numeriske metoder og elektroniske regnemaskiner. Disse tar vanligvis utgangspunkt i Riemann-summen som definerer integralet. Det er også hensiktsmessig å beregne funksjonsverdiene i diskrete punkt x_i  med konstant avstand h.

Da integrasjon av en funksjon y = f(x) som beskriver en kurve i xy-planet, gir arealet under kurven, kan dette deles opp i mindre deler som kan beregnes mer nøyaktig. Trapesintegrasjon er basert på å dele arealet opp i mindre trapeser. Deles hele integrasjonen opp i n slike interval, har man for integralet

$I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{2}}(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{n-1})+f(x_{n}))$

hvor x₀ = a og x_n = b er henholdsvis nedre og øvre grense i integralet, mens h = (b - a)/n. Denne fremgangsmåten kan gjøres mer nøyaktig i form av Simpson-integrasjon eller Romberg-integrasjon.

Trapesapproksimasjonen

Når funksjonen f(x) forandrer seg lite mellom integrasjonsgrensene a og b, er arealet under kurven tilnærmet lik med det til et trapes med to parallelle sider f(a) og f(b) med gjensidig avstand b - a. Derfor kan verdien til integralet skrives som I = T + E  hvor

$T={1 \over 2}(b-a)(f(a)+f(b))$

er arealet til trapeset og E er feilen i tilnærmelsen. Jo mindre avstanden b - a er, desto mindre blir E. En mer nøyaktig analyse viser at

$E=-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}f''(z)$

hvor z ligger i intervallet mellom a og b. Den viser det opplagte resultat at består funksjonen av rette linjer, så er den andrederiverte f " = 0 og tilnærmelsen er eksakt. For en konkav funksjon er f " < 0 slik at E > 0 og den eksakte verdien er større enn hva trapesapproksimasjonen gir. Det motsatte er tilfelle for en konveks funksjon.

Generelt tilfelle

En animasjon som viser hvordan trapes-approksimasjonen blir mer og mer nøyaktig etter som antall delintervaller øker.

I det generelle tilfellet når intervallet b - a  er vilkårlig stort, kan man dele hele arealet under kurvet opp i mindre trapeser som er så små at man kan bruke trapesapproksimasjonen for hver av dem. Hvis man velger en oppdeling med n slike trapeser, hver med samme høyde h = (b - a)/n, er verdien av integralet tilnærmet lik

$T(h)={\frac {h}{2}}(f(a)+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{n-1})+f(b))$

hvor nå unøyaktigheten er gitt ved

$E=-{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}f''(z)=-{1 \over 12}(b-a)h^{2}f''(z)$

Den avtar derfor raskt ved økende antall n med trapesintervaller, det vil si desto mindre diskretiseringen h er. Hadde man i stedet valgt trapeser med forskjellige høyder, måtte man beregne mange flere funksjonsverdier i den tilsvarende summen. Også med like intervall vil en fordobling av deres antall medføre at halvparten av funksjonsverdiene forblir de samme. Det sparer også den tid som går med til en slik mer nøyaktig beregning.

Simpson-integrasjon

Da feilen ved trapesintegrasjon varierer med diskretiseringen som h², kan et mer presis resultat med nøyaktighet h³ oppnås ved bruk av Richardson-ekstrapolasjon. Da T(h)  er resultatet av tilnærmelsen med n steg, vil en dobling av antall intervall gi resultatet T(h/2) i samme approksimasjon. Hvert punkt x_k mellom a og b vil da gå over i punktet x_2k, mens det nye punktet x_2k+1 vil ligge mellom x_2k og x_2k+2 med x_2n = b. Men dette kan nå gjøres enda mer nøyaktig ved bruk av kombinasjonen

${\begin{aligned}T_{1}(h/2)&={2^{2}T(h/2)-T(h) \over 2^{2}-1}\\&={4 \over 3}\cdot {h \over 4}{\Big [}f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +f(x_{2n}){\Big ]}-{1 \over 3}\cdot {h \over 2}{\Big [}f(x_{0})+2f(x_{2})+2f(x_{4})+\cdots +f(x_{2n}){\Big ]}\\&={h_{1} \over 3}{\Big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{2n-1})+f(x_{2n}){\Big ]}\end{aligned}}$

hvor h₁ = h/2  er den halverte intervallengden. Dette forbedrete resultatet for integralet går under navnet Simpson-integrasjon.

Da feilen i denne approksimasjonen viser seg å være

$E_{1}=-{h_{1}^{4} \over 180}(b-a)f^{(4)}(z)$

og ikke av orden h³, er nøyaktigheten bedre enn forventet og bidrar til at denne integrasjonsmetoden er mye anvendt. Videre bruk av Richardson-ekstrapolasjon gjør den enda mer nøyaktig og blir omtalt som Romberg-integrasjon.

Eksterne lenker

• «Trapezium formula», fra Encyclopedia of Mathematics
• «The Trapezoid Rule for Approximating Integrals», video fra Youtube (engelsk)
• «Trapezoidal Rule», video fra Youtube (engelsk)