Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy [ogysˈtɛ̃ lwi koˈʃi] (født 21. august 1789 i Paris, død 23. mai 1857 i Sceaux) var en fransk matematiker.

Augustin Louis Cauchy
Født		21. aug. 1789 Paris
Død		23. mai 1857 (67 år) Sceaux
Beskjeftigelse		Matematiker, ingeniør, fysiker, universitetslærer
Utdannet ved		École nationale des ponts et chaussées Lycée Henri IV École polytechnique
Ektefelle		Aloise de Bure
Far		Louis François Cauchy
Mor		Marie-Madeleine Desestre
Søsken		Eugène Cauchy
Nasjonalitet		Frankrike
Medlem av		9 oppføringer Royal Society (1832–) Société philomathique de Paris Kungliga Vetenskapsakademien Det franske vitenskapsakademiet Göttingens vitenskapsakademi American Academy of Arts and Sciences Det russiske vitenskapsakademi Det prøyssiske vitenskapsakademiet Accademia Nazionale delle Scienze detta dei XL
Utmerkelser		7 oppføringer Pour le Mérite for vitenskap og kunst (1849) Ridder av Æreslegionen (1819) Grand prix des sciences mathématiques (1815) Concours général Medlem av American Academy of Arts and Sciences Fellow Utenlandsk medlem av Royal Society (1832) Liste over de 72 navnene på Eiffeltårnet
Arbeidssted		Universitetet i Paris, Sorbonne Universitetet i Torino
Fagfelt		Matematisk analyse, geometri, matematikk, mekanikk, elastisitetsteori
Doktorgrads- studenter		Viktor Bunyakovsky Mikhail Ostrogradsky
Kjent for		List of things named after Augustin-Louis Cauchy
Signatur
Augustin Louis Cauchy på Commons

Cauchy var en pioner innen analyse og videreutviklet grunnlaget som var lagt av Leibniz og Newton; blant annet fant han formelle bevis for flere fundamentale satser. Spesielt i funksjonsteori stammer flere sentrale teoremer fra ham. Hans nesten 800 publikasjoner dekket hele bredden av datidens matematikk.

Etter Eulers død hadde mange inntrykk av at matematikken var nesten fullstendig utforsket og at det ikke lenger var noen vesentlige problemer som gjenstod. Det var spesielt Gauss og Cauchy som motbeviste dette inntrykket.

Cauchy var en streng katolikk og tilhenger av den franske herskerslekten bourbonerne. Under de franske revolusjonene brakte dette ham i konflikt med mange av hans samtidige.

Liv

Cauchys far Louis-François var en strengt katolsk og belest rojalist. Ved stormen av Bastillen den 14. juli 1789 var han høyre hånd til Lieutenant Général Louis Thiroux de Crosne ved det parisiske politiet. Denne måtte like etter flykte til England, og Louis-François Cauchy mistet sin stilling. Få uker senere ble Augustin Louis født, midt under den franske revolusjonen. I april 1794 vendte Thiroux tilbake; han ble arrestert og samme dag dømt til døden. Louis-François flyktet da med familien sin til landstedet sitt ved Arcueil, hvor de levde i sult og fattigdom. Augustin Louis fikk grunnleggende undervisning av sin far. Sulten og den farlige situasjonen forårsaket en livslang motvilje mot revolusjon. Etter slutten av terrorveldet vendte familien tilbake til Paris, Louis-François gjorde igjen karriere og ble generalsekretær ved senatet etter statskuppet til Napoleon. Det førte til et nært vennskap med den daværende innenriksministeren Pierre-Simon Laplace og senatoren Joseph Louis Lagrange, to betydningsfulle matematikere. De oppdaget tidlig sønnens matematiske talent, og Lagrange skal ha sagt:

Vous voyez ce petit jeune homme, eh bien! Il nous remplacera tous tant que nous sommes de géomètres («En dag vil denne gutten overgå oss simple geometere.»)

Han ga også faren en advarsel:

Ikke la dette barnet røre en matematikkbok før han blir sytten. Om De ikke skynder Dem og gir ham en grundig literær utdannelse, så vil han bare utvikle sin tilbøyelighet for matematikk enda lengre. Da vil han bli en større matematiker, men knapt kunne skrive sitt morsmål. (G. Kowalewski: Grosse Mathematiker, München-Berlin 1939)

Augustin Louis Cauchy hadde to yngre brødre: Alexandre Laurent (1792–1857), som ble jurist som sin far og gikk inn i statstjenesten, og Eugène François (1802–1877), som var forfatter.

Etter råd fra Lagrange studerte Cauchy dernest klassiske språk, noe som skulle forberede ham på en videre matematikkutdannelse. Fra 1802 gikk han to år på École centrale du Panthéon, hvor han spesielt utmerket seg i latin. Deretter bestemte han seg for å begynne på en ingeniørkarriere, og tok matematikkundervisning fra 1804 som skulle forberede ham på opptaksprøven på École polytechnique. I 1805 ble han nest best på opptaksprøven som ble gjennomført av den franske matematikeren og fysikeren Jean-Baptiste Biot. École polytechnique skulle utdanne ingeniører for Frankrikes offentlige tjeneste og studentene måtte bestemme seg for en spesiell retning. Cauchy valgte gate- og brobygging. Utdannelsen la vekt på matematikk. Blant lærerne fantes kjente navn som Lacroix, de Prony, Hachette og Ampère. Etter to år var Augustin-Louis duks og fikk lov til å fortsette utdannelsen ved École nationale des ponts et chaussées. Også her var han blant de beste, og under praksistiden fikk han lov til å arbeide på Ourcq-kanalen under Pierre Girards ledelse. I Paris var studentene alt annet enn upolitiske. Mens de fleste var revolusjonært eller liberalt innstilt, gikk Cauchy inn i kongregasjonen, som var den verdslige grenen til jesuittene. Han forble medlem helt til organisasjonen ble forbudt i 1828. Etter to pliktår som student, forlot han universitetet i januar 1810 som «aspirant-ingénieur».

Napoleons ingeniør

I februar 1810 fikk Cauchy i oppdrag å hjelpe til ved byggingen av havna Port Napoléon i Cherbourg, som den gang var den største byggeplassen i Europa med rundt 3000 arbeidere. Målet var å forberede seg på den engelske invasjonen. Arbeidene var omfangsrike og i sin begrensede fritid beskjeftiget han seg med matematikk. Hans interesse for ingeniøryrket dabbet raskt av, og han besluttet å slå inn på en vitenskapelig karriere. Cauchy hadde på dette tidspunktet ikke noe mål om å bli matematiker. Den alminnelige oppfatningen etter Eulers død var at de vesentlige problemene i matematikk var så godt som fullstendig løst. Det viktige ble ansett å være ingeniørvitenskap og utforskningen av nye anvendelser for matematikk.

Mens han var i Cherbourg fant han en generalisering av Eulers polyederteorem og et bevis for et teorem angående spørsmålet om under hvilke betingelser polyedere med like sideoverflater er identiske. Dette teoremet hadde allerede Euklid formulert i Elementer, men det hadde ennå ikke blitt bevist. Gjennom dette arbeidet fikk Cauchy et navn i det akademiske samfunnet i Paris.

Sommeren 1812 forverret helsetilstanden hans seg sterkt. Cauchy hadde dårlig helse siden barndommen og sulten i Arcueil, og led til tider av depresjon. Den store arbeidsmengden i Cherbourg gjorde at han ble sykmeldt i september og fikk tillatelse til å dra tilbake til sin familie i Paris. Da helsen hans forbedret seg, var han ikke oppsatt på å fortsette å arbeide som ingeniør, og viet seg i stedet til forskningen. Inspirert av Lagranges teorem, befattet han seg med gruppeteori og fant dessuten tre aksiomer som entydig definerer en determinant.

Våren 1813 løp sykmeldingen hans ut. Cauchy hadde overhodet ikke lyst til å vende tilbake til Cherbourg. Da skaffet hans tidligere lærer Pierre Girard ham muligheten til å fortsette å arbeide på Ourcq-kanalen i Paris. I april giftet han seg med Aloise de Bure, datteren av en ansett bokhandler og forlegger. De fikk to døtre, Marie Françoise Alicia og Marie Mathilde. Dette året bar ikke forskningen hans særlig frukter. Riktignok fant han en metode for å finne antallet løsninger av en algebraisk ligning av vilkårlig grad, men denne var svært upraktisk. Samtidig søkte han 50 stillinger på akademiene i Paris uten suksess, til tross for hans fars gode forbindelser som han benyttet seg av der han kunne. Hans vitenskapelige kolleger Ampère, Legendre, Poinsot og Molard fikk utnevnelser, men ikke Cauchy. Om sommeren lot Cauchy seg sykmelde uten lønn. Etter Napoleons nederlag i 1814 ble Ourcq-kanalprosjektet avbrutt og ingen ny stilling ble utskrevet for ham. Dette året var også begynnelsen på Cauchys arbeid med komplekse funksjoner.

Professor ved École polytechnique

Leçons sur le calcul différentiel, 1829

Napoleons endelige nederlag i 1815 ga Cauchys karriere et oppsving. Ludvig XVIII ble nå konge av Frankrike, og med ham kom reaksjonære krefter til makten. Som tro rojalist fikk Cauchys far beholde sin stilling også under det nye regimet. Vitenskapsmenn med politisk tvilsomme holdninger, det vil si revolusjonære, fikk nå vanskelige betingelser. Slike problemer hadde ikke Augustin Louis som streng katolikk, og han fikk i november 1815 en stilling som assistentprofessor ved École polytechnique og allerede i desember et fullt professorat. I mars 1816 ble Académie des sciences omorganisert av kongen; to liberale medlemmer ble fjernet og de ledige plassene gitt til erkekonservative vitenskapsmenn som Cauchy, som fikk plassen til Gaspard Monge.

Denne fremferden ga ham ingen venner. Selv om han etterhvert hadde fått et fremragende rykte som matematiker og det ikke var noe faglig å utsette på hans utnevnelse, ble det sett på som en politisk begunstigelse. I tillegg la ikke Cauchy stor vekt på andres meninger, spesielt i forhold til ikke-katolikker. Hans støttespiller Lagrange hadde dødd i 1813, og han klarte å gjøre Laplace til uvenn ved å betegne metodene til Laplace og Poisson som intuitive og for unøyaktige. Med Poisson, som arbeidet på et svært likt felt, beholdt han imidlertid et godt arbeidsforhold, og de samarbeidet ofte. Den eneste han hadde et nært vennskap med var Ampère, som også var katolikk.

Som medlem av Akademiet var en av Cauchys plikter å bedømme innsendte vitenskapelige arbeider. Han viet mye av tiden sin til dette, men ikke alltid til glede for innsenderen. Abel skrev: «Cauchy er forrykt, og man kan ikke gjøre noe med det. Imidlertid er han for tiden den eneste som vet hvordan man skal gjøre matematikk.» Tilsvarende dårlige erfaringer gjorde Galois og Poncelet. Det virket også som om Cauchy delvis hadde mistet artiklene til unge vitenskapsmenn, noe han ofte ble anklaget for. Ostrogradski hadde derimot bare varme ord for Cauchy, som flere ganger hadde kjøpt den unge russeren ut av gjeldsfengsel når han ikke kunne betale husleia si.

Som foreleser gikk Cauchy til verks med stor iver. Han anså analyse for å være en forutsetning for å mestre mekanikk og andre viktige ingeniørdisipliner. På denne tiden oppstod verket Cours d’analyse de l’École Polytechnique på grunnlag av forelesningene hans. Han la stor vekt på nøyaktighet i definisjonene og innførte mye nytt materiale, som hans nye definisjon av derivasjon, basert på grenseverdier og ikke infinitesimalregning. Dette likte ikke studentene, som syntes at Cauchys forelesninger var for abstrakte og for lite ingeniørorienterte. Dertil kom det at studentene, som overveiende var liberale, av politiske grunner ikke var vennligsinnet overfor rojalisten Cauchy; en gang ble han til og med buet ut. Viktigere var det at Cauchys reformer av pensumet ikke ble tatt vel i mot av professorene, med unntak av Ampère, som støttet dem kraftig.

Eksil etter julirevolusjonen

I juli 1830 ble den reaksjonære kongen Karl X styrtet og erstattet av den liberale borgerkongen Ludvig Filip, i julirevolusjonen. Studentene på École polytechnique spilte en ikke ubetydelig rolle under gatekampene. Dette ble for mye for Cauchy. I september forlot han byen og lot familien sin være igjen. Først dro han til Sveits til Fribourg, en av jesuittenes høyborger. Å returnere til Frankrike nå forutsatte en troskapsed til det nye regimet, noe som ikke kom på tale for ham. Dermed hadde ikke Cauchy annet valg enn å leve i eksil fjernt fra sin familie. Han mistet stillingen sin og dro i 1831 til Torino, hvor han ble utnevnt til en lærestol i teoretisk fysikk. Allerede i 1833 forlot han byen for å slutte seg til Karl X på Hradčany i Praha, og ble privatlærer for barnebarnet hans Henrik, hertugen av Bordeaux.

Karl X hadde abdisert i 1830 og erklært sitt barnebarn til tronarving. Denne fikk derfor fra sitt fjortende leveår krav på den franske tronen. Derfor var hans oppdragelse et politisk anliggende, som også ble fulgt nøye i Frankrike, hvor enkelte adelige heller ville ha bourbonerne på tronen enn Ludvig Filip. Cauchy ble på grunn av sine vitenskapelige meritter og hans nærhet til jesuittene valgt til å undervise prinsen i matematikk og naturvitenskapene, spesielt fysikk og kjemi. Han forberedte seg samvittighetsfullt til undervisningstimene, og bedrev i disse årene så godt som ingen forskning. Også her, som i Paris og Torino, viste han sitt manglende talent som lærer. Prinsen viste verken interesse eller begavelse for matematikk og forstod lite av det Cauchy fortalte ham. Inntil sitt attende leveår, da utdannelsen hans ble avsluttet, utviklet han en stor motvilje mot matematikk. Cauchy viste ingen autoritet som lærer, og den bortskjemte prinsen spøkte med ham etter eget forgodtbefinnende.

I 1834 hentet Augustin Louis sin familie, som han i løpet av de siste fire årene bare hadde sett ved sine sjeldne besøk i Paris. To år senere dro følget til eksilkongen videre til Görz, hvor prinsen feiret sin attende fødselsdag. For Cauchy innebar dette slutten på hans liv som privatlærer. Karl X belønnet ham for hans tjeneste med en barontittel, som Cauchy fra da av la stor vekt på. På grunn av hans mors dårlige helse, som førte til at hun døde i 1839, vendte han tilbake til Paris.

En offentliggjørelse hver uke

Cauchy var nå i den vanskelige stillingen at han på grunn av sin vegring for å avlegge troskapsed til kongen ikke lenger hadde noe professorat. Riktignok var han fremdeles medlem av Académie des Sciences og kunne ta del i det vitenskapelige livet og publisere, men han kunne ikke søke nye stillinger. Ett unntak var Bureau des Longitudes, hvor troskapseden ikke ble tatt så nøye; han bestemte seg derfor for å søke en stilling der som nylig var blitt ledig. På slutten av 1839 fikk han stillingen, men regjeringen satte seg på bakbeina: uten ed kunne han ikke få en formell stilling. De neste fire årene ble dette med overlegg ignorert av instituttet. Cauchy var nå altså igjen professor, riktignok uten lønn.

Med dette begynte hans mest produktive periode. I Praha hadde Cauchy offentliggjort så godt som ingenting, men hadde derimot fundert mye, og de modne ideene sine skrev han nå ned. Akademiet hadde opprettet et tidsskrift Comptes Rendus, hvor medlemmene kunne publisere raskt. Dette benyttet Cauchy seg av som ingen andre: mellom 1839 og februar 1848 offentliggjorde han over 300 artikler. Hvis man tar med i beregningen at han ikke forsket i 1844, så ble det nesten én artikkel i uka, noe som er en utrolig frekvens. Han må ha oversvømt dette tidsskriftet i så stor grad at de i fremtiden begrenset sideantallet per artikkel til fire.

I 1843 døde Lacroix og dermed ble et professorat ledig på Collège de France. Liouville, Cauchy og Libri søkte på stillingen, som Lacroix hadde innehatt og hvor han ettertrykkelig hadde bevist sin inkompetanse. Imidlertid hadde Libri en stor fordel: hans politiske holdninger. Jesuittene forsøkte på denne tiden å få gjennomslag for sine forestillinger om undervisningen på de franske universitetene, og altså begrense undervisningsfriheten. Cauchy støttet dette ettertrykkelig og med egen innsats. Libri var derimot en bekjennende motstander av jesuittene, og av denne grunn ble Libri utnevnt til professor. Verre ble det da ministeriet satte sluttstrek for hans engasjement på Bureau des Longitude: Cauchy ble satt på dør, siden han ikke hadde avlagt troskapseden. Det neste året viet han til å støtte jesuittenes politikk.

Først februarrevolusjonen i 1848, som styrtet borgerkongen Ludvig Filip, endret situasjonen hans.

De siste årene

Februarrevolusjonen brakte ikke, som Cauchy hadde håpet, hans tidligere elev Henrik på tronen, men derimot Napoléon III. Heller ikke til ham ville Cauchy sverge noen troskapsed. Men den nye regjeringen gjorde et unntak for Frankrikes største matematiker, og i 1849 fikk han et professorat. På privat hold var februarrevolusjonen et hardt slag for familien Cauchy. Augustin Louis’ far og begge brødrene hans, som siden Napoelons statskupp hadde vært fremstående embetsmenn og hadde overlevd ethvert regimeskifte, mistet denne gangen sine stillinger. For Louis François Cauchy ble dette for mye: han døde i desember 1848.

I 1850 søkte Cauchy igjen på matematikkprofessoratet ved Collège de France – Libri var flyktet. Liouville søkte imidlertid også og fikk stillingen. Det utspilte seg deretter en stygg krangel mellom de to. Cauchy ville ikke akseptere nederlaget (den første avstemningen ga elleve stemmer for ham, ti for Liouville og to avholdende). De to begynte deretter også en vitenskapelig strid: I 1851 presenterte Cauchy noen resultater av Hermite om dobbeltperiodiske funksjoner og beviste dem ved hjelp av sitt integralteorem. Liouville mente at resultatene direkte fulgte av hans eget Liouvilles teorem. Motangrepet var tilintetgjørende: Cauchy viste at Liouvilles teorem kan bevises svært enkelt ved integralteoremet.

Cauchy øvet en stor innflytelse på Frankrikes unge matematikere: også i sine siste år, hvor han sterkt reduserte sitt forskningsarbeid, evaluerte han mange innsendte arbeider, og kom med rikelig kritikk. Cauchy hadde dessuten i de siste årene forsøkt å få sine kolleger tilbake til den katolske tro. Dette lyktes ham med matematikeren Duhamel. Akkurat med ham havnet han i desember 1856 i en prioritetsstrid, som Ostrogradski oppklarte i favør av Duhamel. Cauchy nektet å erkjenne feilen, og ble dermed målskive for mange fiendtlige angrep, som overskygget de siste månedene av hans liv.

Han døde i 1857 i Sceaux i Paris, omgitt av sin familie.

Virke

Cauchys verk er formidabelt: Det omfatter nær 800 artikler, samt diverse bøker. Hans samlede verker, Œuvres complètes, Paris, Gauthier-Villars, ble utgitt i 27 bind i løpet av nesten 100 år i perioden 1882–1974.

Inspirasjon til sin forskning fikk Cauchy fra to kilder: matematikkundervisningen og fysikk. De store matematikerne før ham, som Euler og Lagrange, hadde arbeidet uten rene matematiske definisjoner, som i dag er selvfølgeligheter for matematikere, og heller anvendt sin intuitive forståelse av funksjoner, deriverbarhet og kontinuitet. Ved forberedelsen av sine forelesninger, kom Cauchy over disse hullene, og satte som førstemann den matematiske analysen på en streng metodisk basis. Dette var en av hans største vitenskapelige bedrifter, som er grunnen til at man betrakter ham som en av de første moderne matematikere.

Der man tidligere hadde argumentert nokså intuitivt med infinitesimale enheter, innførte Cauchy i forelesningene sine Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1821) grenseverdier til definisjonen av kontinuitet og deriverbarhet. Dette gjorde eksakte problemdefinisjoner og bevisbarheten av de anvendte teoriene mulig.

Tidsalderen for stringens og aritmetisering av analysen begynte med Cours d’Analyse. Bare begrepet «uniform kontinuitet» manglet for å gi verket den siste finpussen. Uten å kjenne til dette begrepet uttalte Cauchy det uriktige teoremet at konvergente følger av kontinuerlige funksjoner alltid har kontinuerlige grensefunksjoner (etter Reinhold Remmert, Funktionentheorie I, Springer-Verlag, 1984).

En stor del av de vitenskapelige bidragene til Cauchy finnes i hans tre verker Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1821), Exercises de mathématique (5 bind, 1826–30) og Exercises d’analyse et de physique mathématique (4 bind), som Cauchy hadde forfattet i rammen av sine forelesninger på École polytechnique. De viktigste bidragene i avhandlingene hans angår fremfor alt følger og rekker, samt komplekse funksjoner.

Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique	Forelesninger om analyse ved den kongelige polytekniske høyskole
Première Partie	Første del
Analyse algébrique	Algebraisk analysise
1. Des fonctions réelles.	1. Reelle funksjoner
2. Des quantités infiniment petites ou infiniment grandes, et de la continuité des fonctions. Valeurs singulières des fonctions dans quelques cas particuliers.	2. Uendelig små eller uendelig store størrelser. Singulære funksjonsverdier i bestemte tilfeller.
3. Des fonctions symétriques et des fonctions alternées. Usage de ces fonctions pour la résolution des équations du premier degré à un nombre quelconque d’inconnues. Des fonctions homogènes.	3. Symmetriske og alternerende funksjoner. Anvendelse av disse funksjonene for løsningen av førstegradsligninger med flere ukjente. Homogene funksjoner.
4. Détermination des fonctions entières, d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues. Applications.	4. Fullstendig bestemmelse av hele funksjoner, ved visse kjente funksjonsverdier. Anvendelser.
5. Détermination des fonctions continues d’une seule variable propres à vérifier certaines conditions.	5. Bestemmelse av kontinuerlige funksjoner med én variabel med hensyn til bestemte betingelser.
6. Des séries (réelles) convergentes et divergentes. Règles sur la convergence des séries. Sommation de quelques séries convergentes.	6. Reelle divergente og konvergente rekker. Konvergensregler for rekker. Summasjon av utvalgte konvergente rekker.
7. Des expressions imaginaires et de leurs modules.	7. Komplekse uttrykk og deres modulus.
8. Des variables et des fonctions imaginaires.	8. Komplekse variabler og funksjoner.
9. Des séries imaginaires convergentes et divergentes. Sommation de quelques séries imaginaires convergentes. Notations employées pour représenter quelques fonctions imaginaires auxquelles on se trouve conduit par la sommation de ces mêmes séries.	9. Komplekse konvergente og divergente rekker. Summasjon av utvalgte konvergente komplekse rekker. Anvendt notasjon for å representere bestemte komplekse funksjoner som opptrer ved rekkesummasjon.
10. Sur les racines réelles ou imaginaires des équations algébriques dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière d’une seule variable. Résolution de quelques équations de cette espèce par l’algèbre ou la trigonométrie.	10. Reelle eller komplekse røtter til algebraiske ligninger, hvis første ledd er en hel rasjonal funksjon med én variabel. Algebraisk eller trigonometrisk løsning av slike ligninger.
11. Décomposition des fractions rationnelles.	11. Dekomposisjon av rasjonale brøker.
12. Des séries récurrentes.	12. Rekursive følger.

Følger og rekker

Cauchy utviklet mange viktige konvergenskriterier for følger og rekker.

Av grunnleggende betydning for teorien om følger og rekker er begrepet cauchyfølge. I Cours d’analyse beviste Cauchy det såkalte cauchykriteriet. Et ordentlig bevis for at cauchyfølger konvergerer i R ga han imidlertid ikke. Bolzano hadde bevist allerede i 1817 at grenseverdien til en cauchyfølge må være entydig bestemt, men det virker som om både Bolzano og Cauchy forutsatte at denne grenseverdien eksisterer i R. Denne mangelen ble først rettet opp i teorien om de reelle tallene som ble foreslått av Heine og Cantor, hvor R blir definert som mengden av ekvivalensklassene av cauchyfølger.

Cauchy viste konvergensen til geometriske rekker og utledet derav kvotientkriteriet og rotkriteriet. Det sistnevnte kriteriet sier at en rekke av reelle tall konvergerer hvis n-te-roten av den n-te summanden er mindre enn et tall som er mindre enn 1, for alle n større enn et gitt tall N.

Cauchy-Hadamard-formelen følger en lignende idé som kan brukes til å bestemme konvergensradien til en potensrekke. Den beregner den øvre grenseverdien til to på hverandre følgende koeffisienter av potensrekken.

Cauchys grenseverditeorem sier at det aritmetiske gjennomsnittet av leddene i en konvergent følge går mot grenseverdien til følgen.

I rekkeproduktsatsen beviste han at Cauchy-produktet av to konvergente rekker under visse betingelser også konvergerer. Dette beviset blir ofte brukt i konvergensanalysen av potensrekker.

I tillegg til rekkeproduktsatsen kom Cauchy fram til flere andre erkjennelser om potensrekker. Først og fremst var han den første til å bevise Taylors teorem med formell stringens og utviklet i denne sammenheng Cauchy-restleddet til en taylorrekke.

Han var også den første som ga et strengt bevis for konvergensen til følgen $\textstyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}$, som konvergerer mot e; denne følgen ble først undersøkt av Euler.

Differential- og integralregning

I Cours d’Analyse finner man Cauchys definisjon av den deriverte som en grenseverdi. Hans samtidige Lagrange og Laplace hadde definert den deriverte ved hjelp av taylorrekker, da de antok at en kontinuerlig funksjon kan representeres på en entydig måte av en uendelig taylorrekke. Den deriverte var da ganske enkelt den andre koeffisienten til denne rekken. Denne antagelsen ble motbevist av Cauchy.

I integralregningen var også Cauchy den første (også i Cours d’Analyse) til å gi en definisjon ved hjelp av en grenseverdiprosess, der integrasjonsintervallet blir inndelt i mindre og mindre delintervaller og lengden til et delintervall blir multiplisert med funksjonsverdien på begynnelsen av dette intervallet.

Funksjonsteori og differensialligninger

Cauchys innsats på området for funksjonsteori, det vil si studiet av komplekse funksjoner, var banebrytende. Euler og Laplace hadde allerede brukt de komplekse tallene på en intuitiv måte til å beregne reelle integraler, men uten å kunne rettferdiggjøre denne fremgangsmåten med et stringent bevis. Laplace fikk Cauchy til å interessere seg for disse metodene, og i 1814 begynte han systematisk å sette seg inn i komplekse funksjoner. I Cours d’Analyse var han den første som formelt definerte en funksjon med komplekse variabler, og var faktisk til rundt 1840 den eneste som beskjeftiget seg med funksjonsteori.

I hans berømte artikkel Sur les intégrales définies fra 1814 begynte han å integrere reelle funksjoner over rektangler i det komplekse tallplanet for å regne ut reelle integraler. Her dukker Cauchy-Riemanns ligninger opp for første gang, som forbinder kompleks deriverbarhet med partielle differentialligninger: En kompleks funksjon er komplekst deriverbar hvis og bare hvis de tilfredsstiller Cauchy-Riemanns ligninger. Et bevis for Cauchys integralteorem for rektangler følger. Til slutt i artikkelen beskjeftiger han seg med tilfellet at funksjonen har simple poler, og den inneholder residualsatsen for integrasjon over et rektangel.

Disse ideene fulgte han videre de neste ti årene, og han generaliserte dem til vilkårlige integrasjonskurver. (Han gikk her ut fra at Jordans kurveteorem gjelder.) Videre stilte han Poissons metode til å regne ut et reelt integral over en pol ved å bruke det komplekse planet, på trygg grunn.

Alle holomorfe funksjoner kan deriveres uendelig mange ganger, ved hjelp av Cauchys integralformel. Ved hjelp av disse deriverte kan man uttrykke holomorfe funksjoner som potensrekker.

Med Cauchys majorantmetode kan man undersøke eksistensen av løsningene til differensialligninger hvor en holomorf funksjon finnes på høyre side av likhetstegnet. Grunnlaget for dette er løsningens potensrekkeutvikling.

Cauchy undersøkte også vanlige differensialligninger og ga en løsningsmetode for lineære systemer med konstante koeffisienter, som baserte seg på Fourier-transformasjoner og hans residualsats. Ved hjelp av Eulers polygonmetode fant han også et enkelt eksistensbevis. Etter ham er også Cauchy-problemet oppkalt; det er initialverdiproblemer, hvor man ønsker å finne løsningene i hele domenet.

Funksjonalligninger

I kapittel 5 av hans Analyse algébrique undersøkte Cauchy de fire funksjonalligningene

${\begin{aligned}\Phi (x+y)&=\Phi (x)+\Phi (y)\\\Phi (x+y)&=\Phi (x)\cdot \Phi (y)\\\Phi (x\cdot y)&=\Phi (x)+\Phi (y)\\\Phi (x\cdot y)&=\Phi (x)\cdot \Phi (y)\end{aligned}}$

og beviste at de kontinuerlige løsningene er på formen $\Phi (x)=ax\;$, $\Phi (x)=a^{x}\;$ (med positiv $a\;$), $\Phi (x)=a\log x\;$ og $\Phi (x)=x^{a}\;$. Den første av disse funksjonalligningene har siden fått navnet Cauchys funksjonalligning.

Bidrag til fysikk

Cauchy ga også viktige bidrag til fysikken. Spesielt har hans forskning på elastisitet vært grunnleggende også for anvendelser i dag. Han utviklet spenningstensoren til en kube, hvor spenningen til et punkt i et elastisk legeme kan beskrives fullstendig ved hjelp av de ni karakteristiske tallene til spenningstensoren. Cauchy-tallet angir forholdet mellom treghetskraften og den elastiske kraften i et legeme. To legemer har samme elastisitetsegenskaper hvis og bare hvis de har samme Cauchy-tall. Betydningen av dette ligger i at man med denne modellen kan undersøke stabiliteten til byggverk. De teoretiske erkjennelsene til Cauchy i elastisitetsteori gjorde den omfangsrike forskningen til Navier på École polytechnique om brobygging mulig.

I sammenheng med elastisitetsteorien står også forskningen til Cauchy angående lys. På denne tiden ønsket man å undersøke lysbølgenes vesen ved hjelp av dispersjon, det vil si utbredelseshastigheten til lyset – som avhenger av bølgelengden – når det går gjennom et prisme. Cauchy hadde allerede i 1815 undersøkt bølgeligninger og hadde først og fremst beskjeftiget seg med studiet av elastisitet ved hjelp av lineære partielle differensialligninger, noe han kunne bruke til undersøkelsen av lysbølger. Man gikk ut fra at rommet måtte være fylt med et flytende medium, kalt eter, som bølgene bredte seg utover i. Tilfeldigvis ga denne forskningen i det vesentlige de samme resultatene som dagens relativitetsteori. Ved hjelp av denne forskningen utledet Cauchy empirisk en enkel sammenheng mellom brytningsindeksen til prismet og lysets bølgelengde.

Andre oppdagelser

Cauchy-fordelingen, eller også t-fordelingen med én frihetsgrad, utmerker seg ved at den ikke har noen momenter: integralet til forventningsverdien konvergerer ikke.

Cauchy–Schwarz’ ulikhet angir at absoluttverdien til skalarproduktet til to vektorer ikke er større enn produktet av vektornormen. Dette resultatet tjener blant annet som basis for korrelasjonskoeffisienten i statistikk.

Et verdifullt bidrag til sannsynlighetsteori er prinsippet om konvergens med sannsynlighet 1; en følge av stokastiske variabler kan konvergere mot en annen stokastisk variabel med denne sannsynligheten.

Litteratur

• Bruno Belhoste: Augustin-Louis Cauchy. A biography. Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97220-X
• Siegfried Gottwald u.a. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Deutsch, Frankfurt/M. 2006, ISBN 3-8171-1729-9
• Dieter Hoffmann u.a. (Hrsg.): Lexikon der bedeutenden Naturwissenschaftler (1 CD-ROM). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2004, ISBN 3-8274-0403-7
• Detlef D. Spalt: Die Vernunft im Cauchy-Mythos. Deutsch, Frankfurt/M. 1996, ISBN 3-8171-1480-X (zu modernen Begriffsproblemen, wie Zahlgrößen, Kontinuität, etc. und u.a. eine virtuelle Diskussionen mit den verstorbenen Mathematikern Niels Henrik Abel und Richard Dedekind)

Eksterne lenker

• Biografi på matematikk.org
• Augustin Louis Cauchy hos Mathematics Genealogy Project
• Biografi hos MacTutor (engelsk)
• Biografi hos BibMath (fransk)
• Biografi hos det katolske Seton Hall University
• Gallica Her kan hans samlede verker lastes ned.