Polyeder

Et polyeder er et geometrisk objekt med flate overflater og rette kanter. Ordet er variasjon av polyhedron, som kommer fra det klassisk greske πολύεδρον, som igjen består av poly- (stammen av πολύς, «mange») + -hedron (en form av έδρα, «sete» eller «flate»). Variasjonen polyeder brukes mest i tysk og nordiske språk.

Eksempel på polyeder.

Polyederet er den tredimensjonale versjonen av den mer generelle polytopen.

Definisjon

Det å definere et polyeder som et legeme begrenset av flate sider og rette kanter er ikke veldig presist, og heller ikke tilfredsstillende for en moderne matematiker. Grünbaum (1994, p. 43) observerte «Arvesynd i polyederteori går tilbake til Euklid og gjennom Kepler, Poinsot, Cauchy og mange andre ... [i at] på hvert trinn ... feilet skribentene i å definere hva som er 'polyedre' ...» Siden da har grundige definisjoner av polyederet blitt gitt innenfor spesifikke kontekster. Imidlertid er ikke slike definisjoner nødvendigvis gjeldende i andre sammenhenger.

Alle polyedre kan være bygd opp av ulike typer elementer eller enheter, alle er de knyttet til et annet med ulikt antall dimensjoner:

• 3 dimensjoner: Legemet blir begrenset av sidene, og er vanligvis volumet som lokkes innenfor dem.
• 2 dimensjoner: En side er et polygon som er begrenset av en krets bestående av kanter, og inneholder vanligvis det flate området innenfor grensen. Disse mangekantede sidene utgjør sammen polygonets flate.
• 1 dimensjon: En kant binder sammen to hjørner til hverandre og to sider til hverandre, og er vanligvis et linjestykke. Sammen utgjør kantene polyederets skjelett.
• 0 dimensjoner: Et hjørne er et punkt i legemet, og binder sammen like mange kanter som sider.
• -1 dimensjon: Nullpolytopet er en slags ikke-enhet, men som er nødvendig i abstrakt teori.

Mer generelt kan «polyeder» bety en rekke relaterte former, noen er geometriske mens andre bare er algebraiske eller abstrakte.

Kjennetegn

Overflate

Et kjennetegn ved nesten alle polyedre er at bare to sider møtes i hver kant. Dette sikrer at overflaten er konstant sammenkoblet og aldri ender brått eller sklir ut i ulike retninger.

Kanter

Kantene har to viktige kjennetegn (hvis ikke polyederet er komplekst):

• En kant kobler bare to hjørner.
• En kant kobler bare to sider.

Disse to kjennetegnene er duale til hverandre.