Liste over trigonometriske identiteter

I matematikk er trigonometriske identiteter likheter som involverer trigonometriske funksjoner og er sanne for alle verdier av variablene. Geometrisk sett er disse identiteter som involverer bestemte funksjoner av en eller flere vinkler. Disse skiller seg fra trekantidentiteter, som er identiteter som involverer både vinkler og sidelengder i en trekant. Bare de førstnevnte dekkes av denne artikkelen.

Cosinus og sinus på enhetssirkelen

Trigonometri

Historie Anvendelser Hypotenus Funksjoner Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter Eksakte konstanter Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen Cosinussetningen Tangenssetningen Pytagoras’ læresetning

Matematisk analyse

Integraler av funksjoner Deriverte av funksjoner Integraler av inverse funksjoner

Notasjon

Vinkler

Denne artikkelen bruker greske bokstaver slik som alfa, (α), beta (β), gamma (γ) og theta (θ) for å representere vinkler. Flere forskjellige vinkelmåleenheter er utbredt, heriblant grader, radianer og gon:

1 full sirkel  = 360 grader = 2$\pi$ radianer  =  400 gon.

Den følgende tabellen viser omregningene for noen vanlige vinkler:

Grader	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Radianer	${\frac {\pi }{6}}\!$	${\frac {\pi }{3}}\!$	${\frac {2\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{6}}\!$	${\frac {7\pi }{6}}\!$	${\frac {4\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{3}}\!$	${\frac {11\pi }{6}}\!$
Gon	33⅓ gon	66⅔ gon	133⅓ gon	166⅔ gon	233⅓ gon	266⅔ gon	333⅓ gon	366⅔ gon
Grader	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Radianer	${\frac {\pi }{4}}\!$	${\frac {\pi }{2}}\!$	${\frac {3\pi }{4}}\!$	$\pi \!$	${\frac {5\pi }{4}}\!$	${\frac {3\pi }{2}}\!$	${\frac {7\pi }{4}}\!$	$2\pi \!$
Gon	50 grad	100 gon	150 gon	200 gon	250 gon	300 gon	350 gon	400 gon

Med mindre annet er angitt, antas alle vinkler i denne artikkelen å være i radianer, men vinkler angitt med gradsymbol (°) er i grader.

Trigonometriske funksjoner

De primære trigonometriske funksjonene er sinus og cosinus til en vinkel. Disse er noen ganger forkortet henholdsvis sin(θ) og cos(θ), der θ er vinkelen, men parentesene rundt vinkelen er ofte utelatt, f.eks. sin θ and cos θ.

Tangensfunksjonen (tan) til en vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus:

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.$

Til slutt er de resiproke funksjonene secans (sec), cosecans (csc) og cotangens (cot) de resiproke av cosinus, sinus og tangens:

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

Inverse funksjoner

Utdypende artikkel: Inverse trigonometriske funksjoner

De inverse trigonometriske funksjonene er delvise inverse funksjoner for de trigonometriske funksjonene. For eksempel er den inverse funksjonen for sinus kjent som invers sinus (sin⁻¹) eller arcsinus (arcsin eller asin), og den tilfredsstiller

$\sin(\arcsin x)=x\!$

og

$\arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{for }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.$

Denne artikkelen bruker følgende notasjon for inverse trigonometriske funksjoner:

Funksjon	sin	cos	tan	sec	csc	cot
Invers	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

Enhetsformelen

Det grunnleggende forholdet mellom sinus og cosinus er enhetsformelen:

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!$

der sin² θ betyr (sin(θ))².

Dette kan betraktes som en versjon av Pythagoras' læresetning, og følger fra ligningen x² + y² = 1 for enhetssirkelen. Denne ligningen kan løses med hensyn på enten sinus eller cosinus:

$\sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad {\text{og}}\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,$

Relaterte identiteter

Å dele enhetsformelen på enten cos² θ eller sin² θ gir to andre identiteter:

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \quad {\text{og}}\quad 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta .\!$

Dette kan også betraktes som versjoner av Pythagoras' læresetning, og følger fra ligningen 1² + x² = y² for enhetssirkelen. Disse ligningene kan løses med hensyn på tangens/secans, eller cotangens/cosecans

Ved å bruke disse identitetene sammen med forholdsidentitetene, er det mulig å uttrykke en hvilken som helst trigonometrisk funksjon ved en hvilken som helst annen:

Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.

uttrykt ved	$\sin \theta \!$	$\cos \theta \!$	$\tan \theta \!$	$\csc \theta \!$	$\sec \theta \!$	$\cot \theta \!$
$\sin \theta =\!$	$\sin \theta \$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\csc \theta }}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\cos \theta =\!$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!$	$\cos \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!$	${\frac {1}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\tan \theta =\!$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!$	$\tan \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!$	${\frac {1}{\cot \theta }}\!$
$\csc \theta =\!$	${\frac {1}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!$	$\csc \theta \!$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!$
$\sec \theta =\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\cos \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\sec \theta \!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!$
$\cot \theta =\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\tan \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\cot \theta \!$

Symmetri, forskyvninger og periodisitet

Ved å undersøke enhetssirkelen, kan følgende egenskaper ved de trigonometriske funksjoner etableres.

Symmetri

Når de trigonometriske funksjonene blir speilet om bestemte vinkler, er resultatet ofte en av de andre trigonometriske funksjonene. Dette fører til de følgende identiteter:

Speilet om $\theta =0$	Speilet om $\theta =\pi /4$ (kofunksjon-identiteter)	Speilet om $\theta =\pi /2$
${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}$

Forskyvninger og periodisitet

Ved å forskyve funksjonen med bestemte vinkler, er det ofte mulig å finne forskjellige trigonometriske funksjoner som uttrykker resultatet enklere. Noen eksempler på dette vises ved å forskyve funksjonene med π/2, π og 2π radianer. Fordi disse periodene er enten π eller 2π er det tilfeller der den nye funksjonen er eksakt den samme som den gamle funksjonen uten forskyvning.

Forskjøvet med π/2	Forskjøvet med π Periode for tan og cot	Forskjøvet med 2π Periode for sin, cos, csc og sec
${\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}$

Identiteter for vinkelsummer og differanser

Disse ble opprinnelig etablert av den persiske matematikeren Abū al-Wafā' Būzjānī i det 10. århundre. En måte å bevise disse identitene på er å bruke Eulers formel. Bruken av symbolene $\pm$ og $\mp$ er beskrevet i artikkelen pluss/minus-tegn.

Sinus	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!$
Cosinus	$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,$
Tangens	$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Cotangens	$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$
Arcsinus	$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})$
Arccosinus	$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})$
Arctangens	$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)$
Arccotangens	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

Formler for multiple vinkler

Formler for dobbelte, triple og halve vinkler

Disse kan vises ved å bruke enten sum- eller differanseidentitetene eller formler for multiple vinkler.

Formler for dobbelte vinkler
${\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\!$	$\cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\!$
Formler for triple vinkler
${\begin{aligned}\sin 3\theta &=3\cos ^{2}\theta \sin \theta -\sin ^{3}\theta \\&=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos 3\theta &=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}\!$	$\cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\!$
Formler for halve vinkler
$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$	$\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

Se også

• Trigonometri
• Beviser for trigonometriske identiteter
• Anvendelser av trigonometri
• Cosinussetningen
• Sinussetningen
• Tangenssetningen
• Pythagoras' læresetning
• Eksakte trigonometriske konstanter (verdier av sinus og cosinus uttrykt ved rottegn)
• Deriverte av trigonometriske funksjoner
• Liste over integraler av trigonometriske funksjoner
• Hyperbolsk funksjon

Referanser

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., red. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. 

Eksterne lenker

• Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, and for the same angles Csc and Sec and Tan.