Eksakte trigonometriske konstanter

I en regulær n-kant er a = π/n den halve sentralvinkel og b = π(1/2 - 1/n) den halve, indre vinkel.

Eksakte trigonometriske konstanter er eksakte verdier som brukes for å uttrykke vinkler nøyaktig. Alle konstantene er utledet fra forholdet mellom to sider i en trekant.

Trigonometri

Historie

Anvendelser

Hypotenus

Funksjoner

Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter

Eksakte konstanter

Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen

Cosinussetningen

Tangenssetningen

Pythagoras' læresetning

Kalkulus

Integraler av funksjoner

Deriverte av funksjoner

Integraler av inverse funksjoner

Alle eksakte verdier av sinus, cosinus og tangens til vinkler med 3-graders inkrementer er det mulig å utlede ved å bruke identitetene for halve vinkler, dobbelte vinkler og sum/differanse med verdiene for 0°, 30°, 36°, og 45°. Det tilsvarer at de er konstruerbare tall og basert på konstruksjon av regulære mangekanter. Disse spesielle vinklene som er listet, er de halve sentralvinklene i de tilsvarende mangekantene. Det er kun mulig å finne eksakte verdier for vinkler på formen m n (gitt i radianer), der m og n er heltall slik at det går an å konstruere et polygoner med n eller m sider.

Konstantene oppgis på eksakt form, dvs. ved hjelp av røtter og brøker, uten avrunding til desimaltall, som kan lede til unøyaktigheter dersom man bruker de i videre beregninger. Mange av verdiene er irrasjonelle. Dersom man evaulerer funksjonene og med et rasjonalt argumenter, er de eneste mulige rasjonale løsningene 0, ±1 og ±12.

Velkjente konstanterRediger

 
Eksakte verdier på formen  enhetssirkelen; alle disse er et multiplum av 30° og 45° ( 6 og  4).

Følgende konstanter kan utledes for verdier ut fra en sekstendeling av enhetssirkelen; disse gjelder for verdiene man får av å dele en sirkel i åtte eller tolv like deler. Én hel omdreining er gitt ved 360° eller  .

Dreining Grader Radianer Sinus Cosinus Tangens
0 0 0 1 0
112 30°  6 12 32 33
18 45°  4 22 22 1
16 60°  3 32 12 3
14 90°  2 1 0
13 120° 2 3 32 12 3
38 135° 3 4 22 22 −1
512 150° 5 6 12 32 33
12 180°   0 −1 0
712 210° 7 6 12 32 33
58 225° 5 4 22 22 1
23 240° 4 3 32 12 3
34 270° 3 2 −1 0
56 300° 5 3 32 12 3
78 315° 7 4 22 22 −1
1112 330° 11 6 12 32 33
1 360° 2  0 1 0

Andre verdierRediger

Verdier for vinkler utenfor området [0°, 45°] kan utledes fra disse verdiene ved bruk av formlene for symmetri i trigonometriske identiteter. Merk at 1° = π/180 radianer.

0°: fundamentalRediger

 
 
 
 

3°: 60-sidet polygonRediger

 
 
 
 

6°: 30-sidet polygonRediger

 
 
 
 

9°: 20-sidet polygonRediger

 
 
 
 

12°: 15-sidet polygonRediger

 
 
 
 

15°: dodekagonRediger

 
 
 
 

18°: dekagonRediger

 
 
 
 

21°: summen 9° + 12°Rediger

 
 
 
 

22.5°: oktogonRediger

 
 
 
 

24°: summen 12° + 12°Rediger

 
 
 
 

27°: summen 12° + 15°Rediger

 
 
 
 

30°: heksagonRediger

 
 
 
 

33°: summen 15° + 18°Rediger

 
 
 
 

36°: pentagonRediger

 
 
 
 

39°: summen 18° + 21°Rediger

 
 
 
 

42°: summen 21° + 21°Rediger

 
 
 
 

45°: kvadratRediger

 
 
 
 

60°: trekantRediger

 
 
 
 

der   er det gylne snitt.

Se ogsåRediger

LitteraturRediger

Eksterne lenkerRediger