Tangenssetningen

I trigonometrien er tangenssetningen en setning om forbindelsen mellom tangens til to vinkler av en trekant og lengdene av de motstående sidene.

Figur 1 – En trekant

Trigonometri

Historie Anvendelser Hypotenus Funksjoner Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter Eksakte konstanter Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen Cosinussetningen Tangenssetningen Pytagoras’ læresetning

Matematisk analyse

Integraler av funksjoner Deriverte av funksjoner Integraler av inverse funksjoner

I figur 1 er a, b og c lengdene av tre sider av trekanten, og α, β og γ er henholdsvis vinklene motstående disse sidene. Tangenssetningen sier at

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Tangenssetningen er, selv om den ikke er så vidt kjent som sinussetningen eller cosinussetningen, like nyttig, og kan brukes i alle tilfeller der to sider og en vinkel, eller to vinkler og en side, er kjent.

Tangenssetningen for sfæriske trekanter ble beskrevet i det 13. århundre av den persiske matematikeren Nasir al-Din al-Tusi (1201–74), som også presenterte sinussetningen for trekanter i planet i sitt fembinds verk Treatise on the Quadrilateral.

Bevis

For å bevise tangenssetningen kan vi starte med sinussetningen:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.$

La

$d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},$

slik at

$a=d\sin \alpha {\text{ and }}b=d\sin \beta .\,$

Det følger at

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.$

Ved å bruke trigonometriske identiteter, er faktorformelen for sinus

$\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;$

vi får

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Som et alternativ til å bruke identiteten for summen og differansen av to sinusverdier, kan man sitere den trigonometriske identiteten

$\tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}$

(se formelen for tangens av halve vinkelen).

Se også

• Sinussetningen
• Cosinussetningen
• Mollweides formel