Åpne hovedmenyen
Figur 1 – En trekant

I trigonometrien er cosinussetningen en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at

Trigonometri

Historie

Anvendelser

Hypotenus

Funksjoner

Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter

Eksakte konstanter

Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen

Cosinussetningen

Tangenssetningen

Pythagoras' læresetning

Kalkulus

Integraler av funksjoner

Deriverte av funksjoner

Integraler av inverse funksjoner

der c er den motstående siden til vinkel γ mellom sidene a og b.

Cosinussetningen generaliserer Pythagoras' læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel γ er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer), blir cosγ = 0, og da reduseres cosinussetningen til

som er Pythagoras' læresetning.

Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.

AnvendelserRediger

 
Figur 2 – Anvendelser av cosinussetningen: ukjent side og ukjent vinkel

Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes for å finne (se figur 2)

  • den tredje siden i en trekant der to sider og vinkelen mellom dem er kjent:
  • vinklene i en trekant der alle tre sidene er kjent:
 
  • den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent (man kan også bruke Pythagoras' læresetning til dette hvis trekanten er rettvinklet):
 

Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis c er liten i forhold til a og b eller γ er liten sammenlignet med 1.

Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen a2 − 2ab cosγ + b2 − c2 = 0 med hensyn på a. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis b sinγ < c < b, bare en positiv løsning hvis c > b eller c = b sinγ, og ingen løsning hvis c < b sinγ.

BevisRediger

Med vektorerRediger

La sidene være representert ved vektorene a, b og c=a-b. Da har vi at

 

Med avstandsformelenRediger

Betrakt en trekant med sider a, b, c, der   er den motstående vinkelen til side c. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte   Ved å bruke avstandsformelen har vi  . Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.

 

En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.

Med trigonometriRediger

 
Figur 3 – En spiss trekant med inntegnet høyde

Tegn høyden på side c; vi får (se figur 3)

 

(Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.) Multipliser hvert ledd med c:

 

Ved å betrakte de andre høydene får vi

 
 

Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi

 .

Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi

 

som kan forenkles til

 

Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel γ separat.

Den utvidede cosinussetningenRediger

Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.

 

Som kan forkortes til:

 

Se ogsåRediger

Eksterne lenkerRediger