Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Derivasjonen av trigonometriske funksjoner er den matematiske prosessen for å finne ut hvor fort en trigonometrisk funksjon endres med hensyn til en variabel. Vanlige trigonometriske funksjoner omfatter sin(x), cos(x) og tan(x). For eksempel, ved derivasjon av f(x) = sin(x), beregner man en funksjon f ′(x) som beregner hvor fort sin(x) endrer seg ved et spesielt punkt a. Verdien som viser hvor fort funksjonen endrer seg ved a er dermed gitt av f ′(a). Kunnskap om derivasjon fra grunnprinsippene er nødvendig, sammen med kompetanse i bruk av trigonometriske identiteter og grenser. Alle funksjoner involverer den vilkårlige variabelen x, med all derivasjon utført med hensyn til x.

Trigonometri

Historie Anvendelser Hypotenus Funksjoner Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter Eksakte konstanter Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen Cosinussetningen Tangenssetningen Pytagoras’ læresetning

Matematisk analyse

Integraler av funksjoner Deriverte av funksjoner Integraler av inverse funksjoner

Funksjon	Derivert
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	${\frac {-1}{x^{2}+1}}$

Det viser seg at med en gang man kjenner de deriverte til sin(x) og cos (x), kan man enkelt beregne de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene fordi de alle kan uttrykkes ved sinus eller cosinus; regelen for derivasjon av en kvotient blir dermed iverksatt for å derivere dette uttrykket. Beviser for de deriverte av sin(x) og cos(x) er gitt i avsnittet for beviser. Resultatene er sitert for å gi bevisene til de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene. Å finne de deriverte av de inverse trigonometriske funksjonene involverer bruk av implisitt derivasjon og de deriverte av vanlige trigonometriske funksjoner er også gitt i avsnittet for beviser.

Deriverte av trigonometriske funksjoner og deres inverse

$\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)$

$\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)$

$\left(\tan(x)\right)'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)$

$\left(\cot(x)\right)'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc ^{2}(x)$

$\left(\sec(x)\right)'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)$

$\left(\csc(x)\right)'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)$

$\left(\arcsin(x)\right)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\left(\arccos(x)\right)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\left(\arctan(x)\right)'={\frac {1}{x^{2}+1}}$

$\left(\operatorname {arccot}(x)\right)'={\frac {-1}{x^{2}+1}}$

$\left(\operatorname {arcsec}(x)\right)'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

$\left(\operatorname {arccsc}(x)\right)'={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Beviser for deriverte av sinus- og cosinusfunksjonene

Bevis for $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

I diagrammet over, er arealet av trekant OPA < arealet av sektor OPA < arealet av trekant OAQ

La vinkelen utspent av buen AP være x og radius i sirkelen være r.

Når $0<x<{\frac {\pi }{2}}$

Arealet av trekant OPA er ${\frac {1}{2}}r^{2}\sin(x)$. Arealet av sektor OPA er ${\frac {1}{2}}r^{2}x$. Arealet av trekant OAQ er ${\frac {1}{2}}r^{2}\tan(x)$. Da har vi

$\sin(x)<x<\tan(x)\,\!$

${\frac {\sin(x)}{x}}<1$

$x<\tan(x)\,\!$

$x\cos(x)<\sin(x)\,\!$

${\frac {\sin(x)}{x}}>\cos(x)$

$\cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1$

Når $-{\frac {\pi }{2}}<x<0,$

$\sin(-x)<-x<\tan(-x)\,\!$

$-\sin(x)<-x<-\tan(x)\,\!$

$\sin(x)>x\,\!$

${\frac {\sin(x)}{x}}<1$

$x>\tan(x)\,\!$

$x\cos(x)>\sin(x)\,\!$

${\frac {\sin(x)}{x}}>\cos(x)$

$\cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1$

Derfor, når $-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}$ for $x\neq 0$

$\cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1$

Siden$\lim _{x\to 0}\cos(x)=1$ blir uttrykket «klemt flat» mellom 1 og 1, og vi konkluderer med at

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

Derivasjon av sinusfunksjonen

Definisjonen av den deriverte av en funksjon f(x):

$f'(x)=\left(\lim _{h\to 0}{\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)}\right)\left(\lim _{h\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {h}{2}}\right)}{\frac {h}{2}}}\right)=\cos(x)$

Derivasjon av cosinusfunksjonen

Fra den trigonometriske identiteten

$\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$

Som vist over, siden

${\frac {d}{dx}}(\sin(x))=\cos(x)$

Derfor,

${\frac {d}{dx}}(\cos(x))={\frac {d}{dx}}\left(\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\right)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\sin(x)$

Beviser for deriverte av inverse trigonometriske funksjoner

De følgende deriverte er funnet ved å sette en variabel y lik den inverse trigonometriske funksjonen vi vil derivere. Ved å bruke implisitt derivasjon og deretter løse med hensyn på dy/dx, blir den deriverte til den inverse funksjonen funnet uttrykt ved y. For å konvertere dy/dx tilbake til å være uttrykt ved x, kan vi tegne en referansetrekant på enhetssirkelen, og la θ være y. Ved å bruke Pythagoras' læresetning og definisjonen av de vanlige trigonometriske funksjonene, kan vi endelig uttrykke dy/dx ved x.

Derivasjon av den inverse sinusfunksjonen

Vi lar

$y=\arcsin x\,\!$

Der

$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$

Så

$\sin y=x\,\!$

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$

${dy \over dx}\cos y=1\,\!$

Ved substitusjon av $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$ fra uttrykket over,

${dy \over dx}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}=1$

Ved substitusjon av $x=\sin \,y$ fra uttrykket over,

${dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Derivasjon av den inverse cosinusfunksjonen

Vi lar

$y=\arccos x\,\!$

Der

$0\leq y\leq \pi$

Så

$\cos y=x\,\!$

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$

$-{dy \over dx}\sin y=1$

Ved substitusjon av $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$ fra uttrykket over, får vi

$-{dy \over dx}{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}=1$

Ved substitusjon av $x=\cos y\,\!$ fra uttrykket over, får vi

$-{dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1$

${dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Derivasjon av den inverse tangensfunksjonen

Vi lar

$y=\arctan x\,\!$

Der

$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$

Så

$\tan y=x\,\!$

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$

${dy \over dx}\sec ^{2}y=1$

Ved substitusjon av $1+\tan ^{2}y=\sec ^{2}y\,\!$ fra uttrykket over,

${dy \over dx}(1+\tan ^{2}y)=1$

Ved substitusjon av $x=\tan y\,\!$ fra uttrykket over,

${dy \over dx}(1+x^{2})=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Derivasjon av den inverse cotangensfunksjonen

Vi lar

$y=\operatorname {arccot} x\,\!$

Der

$0<y<\pi$

Så

$\cot y=x\,\!$

Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

${d \over dx}\cot y={d \over dx}x$

${dy \over dx}-\csc ^{2}y=1$

Ved substitusjon av $1+\cot ^{2}y=\csc ^{2}y\,\!$ fra uttrykket over,

${dy \over dx}-(1+\cot ^{2}y)=1$

Ved substitusjon av $x=\cot y\,\!$ fra uttrykket over,

${dy \over dx}-(1+x^{2})=1$

${dy \over dx}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

Se også

• Trigonometri
• Kalkulus
• Derivasjon
• Tabell over deriverte

Bibliografi

• Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964).