Sinussetning
Sinussetningen (også kalt sinusproporsjonen) er i trigonometrien (se også trigonometriske funksjoner) en læresetning om en hvilken som helst trekant i planet. Når a, b, og c er sidene i trekanten, og disse sidenes motstående vinkler er A, B og C, sier sinussetningen at
Trigonometri |
Referanse |
Setninger |
Matematisk analyse |
Den felles verdien av disse tre brøkene er diameteren til trekantens omskrevne sirkel. Sinussetningen kan også fremstilles som
Denne setningen er nyttig når man skal beregne resten av sidene i en trekant der to vinkler og en side er kjent, et kjent problem i triangulering. Den kan også brukes når to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, er kjent; i noen tilfeller gir formelen to mulige verdier for den mellomliggende vinkelen. Når det skjer, vil ofte bare ett resultat få vinkelsummen til å bli 180°; i andre tilfeller har trekanten to løsninger.
Det kan vises at diameteren til trekantens omskrevne sirkel er
der S er trekantens areal og s dens halve omkrets
Eksempler rediger
Gitt en trekant med side a = 20, side c = 24, og vinkel C = 40°
Ved å bruke sinussetningen kommer vi frem til at
Et annet eksempel på å løse et problem ved hjelp av sinussetningen:
Hvis de to sidene i en trekant er lik R og lengden av den tredje siden, korden, er gitt som 100 meter, og vinkel C motstående korden er gitt i grader, er
og
Utledning rediger
Lag en trekant med sider a, b og c, og vinkler A, B og C. Tegn høyden fra vinkel C til side c; per definisjon vil den dele den opprinnelige trekanten i to rettvinklede trekanter. Kall høyden h.
Vi ser at
Derfor er
og
Ved å gjøre det samme med høyden fra A får vi