Funksjonsrom

Et funksjonsrom er innen matematikk en mengde funksjoner mellom to gitte mengder, et domene og et kodomene. Ofte vil domenet og/eller kodomene ha visse strukturelle egenskaper som arves av funksjonene i det gitte funksjonsrommet. Et funksjonsrom er et topologisk vektorrom, definert som et vektorrom med funksjoner som elementer. Funksjonsrom arver dermed egenskaper som holder for mer generelle vektorrom. Funksjonsrom spiller en sentral rolle innen den matematiske grenen funksjonalanalyse.

Funksjonene $\{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),...\}$ danner en komplett basis for vektorrommet som inneholder alle kontinuerlige funksjoner. Her er de første basisfunksjonene plottet, på intervallet $[0,2\pi ]$.

Eksempler på funksjonsrom kan være alle kontinuerlige funksjoner, alle deriverbare funksjoner og alle kvadratisk integrerbare funksjoner, som alle blir brukt på tvers av mange matematiske grener. Sobolevrom er viktige innen numerisk analyse, der de brukes for å løse partielle differensialligninger.

Formell definisjon

Et reelt vektorrom er definert som en mengde vektorer over de reelle tallene, som oppfyller gitte kriterier for addisjon og skalarmultiplikasjon, og som er lukket under disse operasjonene. Tilsvarende er et komplekst vektorrom definert over de komplekse tallene. Et vektorrom er generelt definert som en mengde matematiske objekter, over en kropp K, gitt de samme betingelsene.

Generelt kan funksjonsrom defineres som vektorrom med funksjoner som elementer, det vil si en mengde funksjoner definert fra et domene X til et annet domene Y, med veldefinerte operasjoner for addisjon og skalarmultiplikasjon.

Et eksempel på et funksjonsrom kan være alle funksjoner

$\{f|f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$

med addisjon og skalarmultiplikasjon definert ved

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

$(\alpha f)(x)=\alpha f(x)$

og rommet er lukket under disse operasjonene.

Normerte vektorrom og indreproduktrom

Alle begrensede funksjoner (som den røde) er bundet av en gitt, reell grense den aldri går over, og man kan definere en norm for slike funksjoner basert på dens maksimumsverdi. Man sier derfor at funksjonsrommet for alle begrensede funksjoner er normert.

Et vektorrom kalles normert dersom det kommer med en definert sammen med en norm, det vil si en funksjon $||\cdot ||$ slik at

$||x||\geq 0$, og $||x||=0\iff x=0$

$||\alpha x||=|\alpha |||x||\qquad \forall \alpha \in \mathbb {R}$

$||x+y||\leq ||x||+||y||$

Navnene normert vektorrom og normert lineært rom brukes synonymt om slike rom. Hvis man definerer et indreprodukt over vektorrommet, kaller man det for et indreproduktrom.

Tilsvarende sier man at et funksjonsrom er normert dersom man kan definere en norm $||\cdot ||$ slik at

$||f||\geq 0$, og $||f||=0\iff f\equiv 0$

$||\alpha f||=|\alpha |||f||\qquad \forall \alpha \in \mathbb {R}$

$||f+g||\leq ||f||+||g||$

der f og g er funksjoner i det gitte funksjonsrommet.

Et eksempel på et normert funksjonsrom kan være alle begrensede reelle funksjoner

$\{f|f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)<B<\infty \forall x\in \mathbb {R} \}$

(alle reelle funksjoner med en gitt øvre grense), definert sammen en norm

$||f||=\sup _{x\in \mathbb {R} }|f(x)|$

Her er $||f||$ alltid positiv, kun 0 dersom f er lik 0 over hele den reelle linjen; ved multiplikasjon med en skalar endrer normen seg tilsvarende; og ved addisjon kan normen av to funksjoner lagt sammen aldri bli større enn, men muligens mindre enn, addisjonen av normen til to funksjoner gitt hver for seg.

Basis

Basis for alle kvadratiske funksjoner: $\{1,x,x^{2}\}$

For alle vektorrom kan man definere en basis, en mengde lineært uavhengige elementer som er slik at alle andre elementer i det gitte rommet kan angis som en lineærkombinasjon av disse. For funksjonsrom gjelder det samme: Man kan finne en mengde lineært uavhengige funksjoner (basisfunksjoner) slik at alle andre funksjoner i det gitte rommet kan oppgis som en lineærkombinasjon av disse.

Man kan for eksempel se på alle kvadratiske funksjoner, alle funksjoner

$\{f(x)=ax^{2}+bx+c|f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,a,b,c\in \mathbb {R} \}$

Addisjon og skalarmultiplikasjon av disse er veldefinert, og rommet er lukket under disse operasjonene, så disse danner et funksjonsrom. Videre kan alle slike uttrykkes ved en lineærkombinasjon av funksjonene 1, x og x². Man sier derfor at disse danner en basis for alle kvadratiske funksjoner.

Kompletthet

Et normert vektorrom sies å være komplett dersom alle Cauchyfølger i rommet konvergerer til et element i det gitte vektorrommet. Et komplett normert rom kalles for et Banachrom, og et komplett indreproduktrom kalles for et Hilbertrom.

Hvis man ser på rommet av alle kontinuerlige funksjoner på et lukket intervall, $C[a,b]$, kan man vise at dette rommet er komplett: La $\{f_{n}\}_{n\geq 0}$ være en Cauchy-følge i dette rommet. Det vil si at for enhver $\epsilon$ finnes det en N slik at

$||f_{n}-f_{m}||<\epsilon \qquad \forall n,m>N$

Ettersom $\mathbb {R}$ er komplett konvergerer følgen mot en grense f – for enhver gitt $x\in [a,b]$, konvergerer følgen $\{f_{n}(x)\}_{n\geq 0}$ mot et reelt tall. Ettersom denne er veldefinert for alle x i $[a,b]$ er grensen definert for alle slike x.

Velg en $\epsilon >0$, og velg n, m > N som er slik at $||f_{n}-f_{m}||<\epsilon$. La grensefunksjonen benevnes med f. Da er, for enhver $x\in [a,b]$

$|f_{n}(x)-f(x)|\leq ||f_{n}-f_{m}||\leq \epsilon$

så følgen $\{f_{n}\}$ konvergerer uniformt til grensefunksjonen f. Dette impliserer at f er kontinuerlig, og dermed ligger i rommet $C[a,b]$.

Ulike typer rom

Kontinuerlige funksjoner

En stykkevis lineær funksjon, der hver linjer hverandre i endepunktene av hvert integral, er kontinuerlig. Den er derfor inneholdt i rommet av kontinuerlige funksjoner, $C(\mathbb {R} )$. Dens første deriverte er derimot ikke kontinuerlig, og den er derfor ikke inneholdt i rommet av m ganger derivert kontinuerlige funksjoner, $C^{m}(\mathbb {R} )$, for noen m > 0.

Det er finnes mange rom av kontinuerlige funksjoner. Man kan se på reelle funksjoner, definert over hele tallinjen eller på deler av den, og man kan se på rom av funksjoner som er begrensede eller har en viss grad av deriverbarhet. Noen av disse kan defineres med en norm, andre ikke.

Rommet av kontinuerlige funksjoner over et topologisk rom X benevnes ofte $C(X)$. Dette kan for eksempel være over $\mathbb {R}$, som blir benevnt $C(\mathbb {R} )$. Dette rommet inkluderer blant annet alle polynomer og trigonometriske funksjoner, men også for eksempel stykkevis lineære funksjoner der linjene møtes i gitte punkter.

Det er også vanlig å jobbe med kontinuerlige funksjoner over et intervall, enten lukket [a, b] eller åpent (a, b). Disse rommene benevnes ofte som henholdsvis $C[a,b]$ og $C(a,b)$. For rommet av kontinuerlige funksjoner over et lukket intervall kan man definere en norm basert på funksjonens supremumsverdi, nemlig

$||f||=\sup _{x\in [a,b]}f(x)$

så $C[a,b]$ kan defineres som et normert vektorrom. Ettersom rommet er lukket under grenser er det også et komplett rom. For det åpne intervallet er ikke en supremumsverdi garantert å eksistere, og man kan dermed ikke uten videre definere en tilsvarende norm.

Rommet av begrensede funksjoner benevnes gjerne med $B(X)$, som $B(\mathbb {R} )$, og rommet av kontinuerlige begrensede funksjoner med $BC(X)$. Disse har en gitt øvre grense og kan derfor defineres som et normert vektorrom gitt en suprenumsnorm.

Rommet av m ganger deriverbare kontinuerlige funksjoner over et topologisk rom, de reelle tallene eller et lukket internval benevnes henholdsvis $C^{m}(X)$, $C^{m}(\mathbb {R} )$ og $C^{m}[a,b]$. Enhver funksjon i dette rommet er kontinuerlig, m ganger deriverbare, og de deriverte av en slik funksjon er også kontinuerlige. I likhet med $C[a,b]$ kan man definere en norm over $C^{m}[a,b]$, gitt ved en suprenum over alle de deriverte, nemlig

$||f||=\sup _{0\leq a\leq m,x\in [a,b]}|{\frac {d^{a}}{dx^{a}}}f(x)|$

og dette rommet kan dermed defineres som et (komplett) normert vektorrom. Man har også funksjonsrom som inneholder funksjoner som kan deriveres et uendelig antall ganger, det vil si uten grense for hvor mange ganger man kan derivere funksjonene. Dette inkluderer for eksempel trigonometriske funksjoner. Slike rom benevnes $C^{\infty }(X)$.

Integrerbare funksjoner

Funksjonen $f(x)=x^{-1}$ er kvadratisk integrerbar, men ikke integrerbar, over $[0,\infty )$, siden $\int _{0}^{\infty }x^{-2}dx$ konvergerer, men ikke $\int _{0}^{\infty }x^{-1}dx$.

Man sier at en funksjon er integrerbar, eller Riemann-integrerbar, dersom integralet

$\int _{X}|f(x)|dx$

konvergerer (er endelig). Her er X en delmengde av $\mathbb {R}$ – det kan være hele tallinjen, eller en del av den (f.eks. kan det være over et gitt intervall). Mengden av alle slike funksjoner utgjør et funksjonsrom, og den kan defineres som et normert vektorrom med basert på integralet.

Tilsvarende sier man at en funksjon er kvadratisk integrerbar dersom

$\int _{X}(f(x))^{2}dx$

konvergerer. Mengden av alle slike funksjoner utgjør også et funksjonsrom. Dette er også et normert rom, der man definerer en norm gitt ved kvadratet av integralet, nemlig

$\|f\|_{2}:=\left(\int _{X}|f|^{2}dx\right)^{1/2}$,

og et indreproduktrom, gitt ved

$(f,g)=\int _{X}f(x)g(x)dx$

for reelle funksjoner og

$(f,g)=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}dx$

for komplekse funksjoner.

L^p-rom

For en gitt p er et L^p-rom alle funksjoner som er p-integrerbare. For et gitt målrom og for målbare funksjoner $f:X\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ i dette rommet er p-normen $L^{p}$-normen definert som

$\|f\|_{p}:=\left(\int _{X}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}$,

og dersom denne er endelig sier man at funksjonen er p-integrerbar. Mengden av alle p-integrerbare funksjoner utgjør funksjonsrommet L^p. Dersom funksjonen er Riemannintegrerbar sammenfaller Lesbesgueintegralet og Riemannintegralet. Alle funksjoner som er Riemann-integrerbare og kvadratisk Riemann-integrerbare er derfor inneholdt i henholdsvis $L^{1}$ og $L^{2}$, over det samme målrommet X.

Sobolevrom

Sobolev-rom er viktige for teoretisk og anvendt løsning av partielle differensialligninger, og danner blant annet det teoretiske grunnlaget for element-metoden, som er sentral innen numerisk analyse.

Sobolevrom er et funksjonsrom med en gitt norm, definert som en kombinasjon av L^p-normen av selve funksjonen og dens deriverte opp til en viss orden. De kan formelt defineres som mengden

$W_{p}^{s}(X)=\{f\in L^{p}(X):\forall \alpha \leq s,{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f(x)\in L^{p}(X)\}$

og definert sammen med en norm

$||f||_{(}s,p,X)=\sum _{\alpha \leq s}||{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}||_{L^{p}(X)}$

der $||\cdot ||_{L^{p}(X)}$ er funksjonens $L^{p}$-norm, danner det et komplett vektorrom.

For tilfellet p = 2 kan man definere et indreprodukt. Man benevner gjerne dette med $H^{s}$, der $H^{s}=H_{p}^{s}$. For tilfellet s=0 er dette bare $L^{2}$, rommet av kvadratisk integrerbare funksjoner.

Andre funksjonsrom

Det finnes mange andre funksjonsrom. Noen av de er først og fremst interessante innen teoretisk matematikk, andre er også grunnlaget metoder innen anvendt matematikk. Disse inkluderer blant annet Besovrom og Schwartzrom.

Litteratur

• Yutaka Yamamoto, red. (2012). From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications (engelsk) (1. utg.). USA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). ISBN 978-1-61197-230-6. 
• Gerald B. Folland (1984). Real Analysis – Modern Techniques and Their Applications (engelsk) (1. utg.). USA: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80958-6. 
• Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott (1994). The Mathematical Theory of Finite Element Methods (engelsk) (1. utg.). New York: Springer. ISBN 978-1-4757-4340-1.