Hilbert-rom

(Omdirigert fra «Hilbertrom»)

Et Hilbert-rom er et (ofte reelt eller komplekst) indreproduktrom som er et komplett metrisk rom med hensyn på metrikken indusert av indreproduktet. Det kan ses på som en spesialisering av klassen av vektorrom til rom med et begrep om (grader av) ortogonalitet. Hilbert-rom er viktige eksempler på Banach-rom.

Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren David Hilbert (1862–1943).

Indreproduktrom

rediger

La  være et vektorrom over   (evt.  ). Et indreprodukt  er en funksjon   slik at

  1. (Positivitet)   for alle   med likhet hvis og bare hvis  ;
  2. (Additivitet i hver variabel)   for alle  ;
  3. (Linearitet i første variabel)   for alle   og  ;
  4. (Antisymmetri)   for alle  .

Et vektorrom utstyrt med et indreprodukt kalles et indreproduktrom. To umiddelbare konsekvenser av definisjonen er at

  1. (Antilinearitet i andre variabel)   for alle   og  ;
  2. (Additivitet i andre variabel)   for alle  .

Definisjonen tilpasset enklet til vektorrom over reelle tall ved å fjerne alle konjugasjoner.

Det er enkelt å sjekke at et indreprodukt   induserer en norm    gitt ved   for alle  . Et indreproduktrom kalles et Hilbert-rom hvis det er et komplett metrisk rom med hensyn på denne normen.

Sentrale eksempler

rediger

Euklidske og hermitiske rom

rediger

Det n-dimensjonale euklidske rommet   er et Hilbert-rom under indreproduktet gitt ved   for  , som kalles det euklidske indreproduktet. Tilsvarende er   et indreproduktrom under det hermitiske indreproduktet gitt ved   for  .

Kvadratsummerbare følger

rediger

Mengden   av kvadratsummerbare følger av komplekse tall er et Hilbert-rom med indreprodukt gitt ved  for  .

Kvadratintegrerbare funksjoner

rediger

La   være et målrom. Man definerer rommet av kvadratintegrerbare funksjoner ved

 

Man kan forsøksvis definere et indreprodukt på   ved  , men denne funksjonen tilfredsstiller generelt ikke punkt 1 i definisjonen ovenfor da funksjoner som er 0 bortsett fra på en mengde av mål 0 vil få norm 0. Løsningen er å identifisere funksjoner som er like bortsett fra på en mengde av mål 0 og i steden studere det tilsvarende vektorrommet av ekvivalensklasser av funksjoner. Dette gjøres som følger: Definer en ekvivalensrelasjon    ved

 

For   lar vi   betegne ekvivalensklassen til  . Vi skriver  for mengden av slike, som arver en vektorromssstruktur fra  . Vi kan nå definere et indreprodukt på   ved   for  Riesz-Fischer-teoremet sier at dette rommet er komplett med hensyn på den induserte normen og således er et Hilbert-rom. Merk at forrige eksempel er et spesialtilfelle av denne konstruksjonen der det relevante målrommet er   med  -algebraen bestående av alle delmengder og tellemålet.

Riesz' representasjonsteorem

rediger

Et av de viktigste grunnleggende resultater om Hilbert-rom generelt er Riesz' representasjonsteorem.

(Riesz' representasjonsteorem). La   være et Hilbert-rom over   (enten   eller  ) og anta at   være en begrenset lineær funksjonal. Da finnes en unik vektor   slik at   for alle   Dessuten er  

Riesz' representasjonsteoremet gir en antilineær isometrisk isomorfi mellom Hilbert-rommet   og dualrommet  .

Eksterne lenker

rediger