Et dualrom er innen matematikk et vektorrom definert som alle funksjonaler fra et gitt vektorrom X til skalarkroppen , der er de relle tallene eller de komplekse tallene . Dualrommet til et vektorrom betegnes gjerne eller , og er i seg selv også et vektorrom. Ofte skilles det mellom algebraiske dualrom, definert generelt, og kontinuerlige dualrom, definert som kontinuerlige operatorer over normerte rom.

Dualrom er sentrale innen funksjonalanalyse, der vektorrommene gjerne er funksjonsrom.

Algebraiske dualromRediger

DefinisjonRediger

La   være et vektorrom definert over en skalarkropp  , der   er   eller  . En lineær funksjon

 .

kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X.[1] For å ikke blande dette med dualrom som definert under, kalles dette av og til også for algebraiske dualrom.[2]

EgenskaperRediger

VektorromRediger

La X være et vektorrom over  ,   være skalarer, og  . Da er også   en funksjonal i  , definert ved

 .

Dersom man bruker dette til å definere addisjon og skalarmultiplikasjon, og lar funksjonalen   være nullelement, gir dette at   også i seg selv er et vektorrom.[3]

DualbasisRediger

Dersom X er endelig-dimensjonal med basis

 

kan man definere en basis for dualrommet     slik at

 

der   er funksjonen Kronecker-delta gitt ved

 .

Dette definerer n funksjonaler, alle inneholdt i  , og disse definerer også en basis for  . Spesielt impliserer dette at   og   har samme dimensjon.[4] Basisen   kalles for dualbasisen korresponderende til  .[5]

EksempelRediger

Hvis   er standardbasisen bestående av enhetsvektorene

 

gitt som kolonnevektorer, er den korresponderende dualbasisen nøyaktig enhetsvektorene

 

gitt som radvektorer, ettersom   hvis og bare hvis  .[5]

Kontinuerlige dualromRediger

DefinisjonRediger

Dualrom kan definert generelt, men ofte er det spesielt interessant å se på kontinuerlige funksjonaler, der X er et normert rom. Noen ganger blir derfor dualrom definert begrenset til dette:

La   være et normert vektorrom definert over en skalarkropp  , der   er   eller  . En kontinuerlig lineær funksjon

 .

kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X.[6][2]

Hvis man definerer en norm over  , vanligvis gitt ved

 

er   også et normert vektorrom. Denne normen kalles for dualnormen indusert av normen til  .[7]

EgenskaperRediger

Generelt arver kontinuerlige dualrom egenskaper fra algebraiske dualrom. Videre er   (tilordnet en norm) også et Banach-rom, siden både   og   er komplette.[6][8]

Riesz'–Fréchet-teoremetRediger

Riesz'–Fréchet-teoremet, også kalt Riesz' representasjonsteoremet, sier at dersom   er et Hilbert-rom, har alle funksjonaler   har et unikt korrepsonderende element  . Mer presist, la H være et Hilbert-rom og   være elementer i  . Vi kan da definere en funksjonal ved indreproduktet definert for  ,

 .

Riesz'–Fréchet-teoremet sier at alle funksjonaler i   kan kan skrives slik:

La   være et Hilbert-rom og  . Da finnes en unik   slik at
 
for alle  . Videre er  .[9]

EksemplerRediger

Lp-romRediger

Utdypende artikkel: Lp-rom

Det kan bevises (men er ikke trivielt) at dersom  , og q enten slik at

 

dersom  , og   hvis  , så er

 

og

 .[10]

For  -rom kan man, for et gitt element   og enhver  , definere en funksjonal ved

 

som er veldefinet (gitt ved Hölders ulikhet) er veldefinert og gir en kontinuerlig lineær funksjonal for  -funksjoner, og det kan videre bevises at for enhver   finnes en slik  .[11]

For  -rom kan man, for et gitt element   og enhver  , definere en funksjonal ved

 

og det kan videre bevises at for enhver   finnes en slik  .[12]

ReferanserRediger

LitteraturRediger

  • Bryan P. Rynne og Martin A. Youngson (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1-848-00004-9. 
  • Yutaka Yamamoto (2012). From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications. Philidelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics SIAM. ISBN 1-61197-231-0. 

Eksterne lenkerRediger