Et målrom er en trippel av en mengde, en σ-algebra og et ikke-negativt mål på de ulike delmengdene gitt ved σ-algebraen. Mengden kan for eksempel være de reelle tallene. σ-algebra gir en måte å dele opp disse i ulike delmengder, for eksempel intervaller. er en måte å tilordne et mål på hver delmengde i σ-algebraen, for eksempel lengden av hvert intervall.

Målrom et basiskonsept innen målteori, og generaliserer konsepter som lengde, areal og volum fra euklidsk geometri.

DefinisjonRediger

En mengde er innen matematikk en veldefinert samling av objekter. En σ-algebra er videre en familie   av delmengder i en gitt mengde   slik at[1]

  1.   er ikke tom.
  2. Lukket under komplement: Hvis   er med i   så er komplementet   også være med i  
  3. Lukket under tellbare unioner: Hvis   er en samling av mengder i   er også unionen   med i  

og et mål   på er en utvidet reell funksjon slik at

  1.   for alle  
  2.  
  3. Dersom   er en følge av parvis disjunkte delmengder av  , altså slik at   for  , så er
     .[2]

En trippel   kalles for et målrom.

EgenskaperRediger

Et målrom sies å være komplett dersom alle delmengder av alle   med mål 0 også er i  ; altså dersom   og  , så er  . Ethvert målrom kan alltid utvides til et komplett målrom.[3]

EksempelRediger

La  , og   potensmengden til  , altså

 .

Definer   til å være

 

Trippelen   er et målrom, og mer nøyaktig et sannsynlighetsrom, siden  .

ReferanserRediger

LitteraturRediger

  • John. N McDonald og Neil A. Weiss (2013). A Course in Real Analysis. Elsevier. ISBN 978-0-123-87774-1. 

Eksterne lenkerRediger