Åpne hovedmenyen

En familie av delmengder av mengden kalles en sigma-algebra dersom

  1. er ikke tom. (Det finnes minst en delmengde .)
  2. Lukket under komplement: Hvis er med i så er komplementet også være med i
  3. Lukket under tellbare unioner: Hvis er en samling av mengder i er også unionen med i

Det følger at og er med i :
Tar vi en vilkårlig mengde i (som finnes, ved egenskap 1) har vi at komplementet er i ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen og dens komplement være i .

EksempelRediger

Den enkleste  -algebraen på en gitt mengde   er den trivielle:  , for en delmengde   av  . Går vi til den andre enden av skalaen er den største  -algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av  ,  .

La   være mengden   av alle naturlige tall, og la familien   bestå av de 4 delmengdene  ,   (alle oddetall)   (alle partall) samt   selv.   er da en sigma-algebra.

En svært viktig  -algebra er Borel  -algebraen. Denne definerer vi som  -algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde  . Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive  . Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel  -algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel  -algebraen også er generert av  , ,  og  .

ReferanserRediger

Bartle, Robert G: The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library