Funksjonsdrøfting

Funksjonsdrøfting er i matematikk en kartlegging og beskrivelse av viktige egenskaper til en funksjon, vanligvis en reell funksjon av én variabel. For en slik funksjon brukes også begrepet kurvedrøfting.

Funksjonsdrøfting er en viktig del av pensum i skoleverket. Kompetansemål og krav til funksjonsdrøfting varierer med studieretning og trinn.

En reell funksjon av en reell variabel er en funksjon på formen

$y=f(x):D\rightarrow \mathbb {R} \qquad D\subset \mathbb {R}$.

Den uavhengige variabelen $x$ kalles også argumentet til funksjonen. Egenskaper som kartlegges inkluderer definisjonsområde, kontinuitet, nullpunkt, ekstremalverdier og krumning. Drøftingen inneholder ofte en skisse av grafen til funksjonen.

Funksjonsdrøfting kan også utføres for funksjoner med mer en én uavhengig variabel.

Definisjonsmengde

Definisjonsmengden eller definisjonsområdet $D$ er mengden der funksjonen er definert. Dette kan være lik mengden av alle reelle tall $\mathbb {R}$, men kan også være begrenset til å være et intervall. Dersom et intervall er spesifisert, kan dette karakteriseres som åpent $(a,b)$, som lukket $[a,b]$ eller som en halvåpent, f.eks $(a,b]$. Noen funksjoner er definert kun for positive verdier av argumentet, for eksempel logaritmefunksjonen.

Funksjonen kan ha isolerte verdier der den ikke er definert, for eksempel dersom nevneren i en brøk i funksjonen blir lik null. Et eksempel på dette er gitt ved funksjonen

$f_{1}(x)={\frac {(x-3)(x-2)}{(x-1)(x-4)}}$.

Denne kan være definert for alle reelle tall, bort sett fra i punktene $x=1$ og $x=4$.

Verdimengde

Verdimengden $V$ til funksjonen er mengden av tall som funksjonen kan ta:

$V=\{\ f(x)\ |\ x\in D\ \}$

Også verdimengden kan være hele $\mathbb {R}$ eller for eksempel begrenset til et intervall. Funksjonen $f(x)=x^{2}$ har verdimengde lik mengden av ikke-negative reelle tall. Den trigonometriske sinus-funksjonen har verdimengde lik intervallet $[-1,1]$.

En funksjon er begrenset dersom verdimengden er begrenset.

Kontinuitet

Funksjonen har en sprangdiskontinuitet i $x=x_{0}$

Kontinuitet er en egenskap som uttrykker hvor sammenhengende grafen til funksjonen er. Et punkt der funksjonen ikke er kontinuerlig, er en diskontinuitet, og en funksjonsdrøfting vil inkludere en beskrivelse av slike. Punktet der funksjonen ikke er definert vil ofte representere diskontinuiteter.

Figuren til høyre viser en funksjon som har en sprangdiskontinuitet i punktet $x=x_{0}$, men som ellers er kontinuerlig. En sprangdiskontinuitet er kjennetegnet ved at funksjonen nærmer seg ulike grenseverdier på venstre og høyre side av punktet.

I et punkt der funksjonen er diskontinuerlig, kan funksjonen ha en asymptote, omtalt videre i det påfølgende avsnittet Asymptoter.

Nullpunkt

Nullpunkt til funksjonen er verdier for argumentet som gjør funksjonen lik null. Nullpunktet er altså første koordinat til skjæringspunktet mellom funksjonsgrafen og $x$-aksen. Et nullpunkt finnes som røtter i ligningen

$f(x)=0\qquad x\in D$.

Merk at det kreves at nullpunktet ligger i definisjonsområdet til funksjonen. Funksjonen $f_{1}$ gitt over har nullpunkt $x=3$ og $x=4$. Dersom funksjonen ikke har nullpunkt, så er dette også en egenskap som bør være med i en beskrivelse.

Det kan være mulig å fastlegge at en funksjon har et nullpunkt også i tilfeller der det er vanskelig å beregne det eksakte nullpunktet. Mellomverdisatsen sier at en kontinuerlig funksjon har et nullpunkt i intervallet $[a,b]$ dersom $f(a)$ og $f(b)$ har forskjellige tegn, det vil si dersom produktet $f(a)f(b)$ er negativt.

Et dobbelt nullpunkt er en verdi for argumentet der både funksjonen og den deriverte av funksjonen er lik null, altså gitt ved ligningene

$f(x)=f'(x)=0$.

Monotonisitet

En funksjon er monoton i et intervall dersom den er voksende eller minkende i hele intervallet. Tilsvarende sier en også at funksjonen er strengt monoton i et intervall dersom den er strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.

En deriverbar funksjon er voksende i et intervall dersom den deriverte av funksjonen er ikke-negativ i hele intervallet. Tilsvarende er funksjonen minkende i et intervall dersom den deriverte er ikke-positiv i intervallet.

En deriverbar funksjon er strengt voksende i et intervall dersom den deriverte av funksjonen er positiv i hele intervallet. Tilsvarende er funksjonen strengt minkende i et intervall dersom den deriverte er negativ i intervallet.

Funksjonen $f(x)=x^{2}$ har derivert lik $f'(x)=2x$ og er strengt minkende i intervallet $(-\infty ,0)$ og strengt voksende i intervallet $(0,\infty )$.

Funksjonen $f(x)=x^{3}$ har derivert lik $f'(x)=3x^{2}$. Funksjonen er voksende i hele $\mathbb {R}$ og strengt voksende i de to intervallene $(-\infty ,0)$ og $(0,\infty )$.

Dersom en funksjon er strengt monoton i hele definisjonsmengden, så er den også injektiv.

Ekstremalpunkt og ekstremalverdier

Ekstremalverdier for funksjonen $f(x)=cos(3\pi x)/x$, definert i $[0.1,1.1]$.

Definisjon av begreper

Ekstremalpunkt er verdier for argumentet der funksjonen har en ekstremalverdi, enten en minimumsverdi eller en maksimumsverdi. Et ekstremalpunkt kan altså være en minimumspunkt eller et maksimumspunkt.

Et global maksimumspunkt eller et absolutt maksimumspunkt er et punkt $x_{0}$ der funksjonen har sin aller største verdi:

$f(x_{0})\geq f(x)\qquad \forall x\in D$.

Definisjonen av et globalt maksimumspunkt vil avhenge av definisjonsområdet $D$. For et strengt maksimumspunkt gjelder skarp ulikhet, det vil si ulikhet uten likhet:

$f(x_{0})>f(x)\qquad \forall x\in D\setminus \{x_{0}\}$.

Et globalt minimumspunkt og et globalt strengt minimumspunkt defineres tilsvarende.

Et lokalt maksimumspunkt er et punkt $x_{0}$ som er et maksimumspunkt i et intervall, men ikke nødvendigvis i hele definisjonsområdet:

$f(x_{0})\geq f(x)\qquad \forall x\in D\cap [a,b]$.

Igjen kan en definere et strengt lokalt maksimumspunkt ved hjelp av skarp ulikhet, og minimumspunkt tilsvarende. Ofte droppes ordet «lokalt», slik at «et maksimumspunkt» må forstås som «et lokalt maksimumspunkt».

En funksjon trenger ikke ha ekstremalpunkt, og da er dette en egenskap som også bør nevnes. Funksjonen $f(x)=x^{3}$ definert på hele $\mathbb {R}$ har ingen ekstremalverdier.

Et indre punkt i definisjonsmengden er et punkt som kan omsluttes av et intervall i definisjonsmengden. Dersom $D=[a,b]$, så vil alle punktene i intervallet $(a,b)$ være indre punkt. Funksjonen kan være deriverbar i indre punkt i definisjonsområdet.

Et punkt der den deriverte er lik null eller ikke er definert, kalles et kritisk punkt. Dersom definisjonsmengden er et lukket intervall, kan også endepunktene i dette intervallet regnes som kritiske punkt. Ekstremalpunkt til en funksjon vil alltid være et kritisk punkt. Et punkt der den deriverte er lik null kalles også et stasjonært punkt.

Et terassepunkt er et punkt der den deriverte er lik null, men ikke skifter tegn.

Første-deriverte-test for lokale ekstremalpunkt

For en deriverbar funksjon vil de to følgende testene gi tilstrekkelige vilkår for ekstremalverdier.

Et indre punkt $x=x_{0}$ er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom $f'(x_{0})=0$ og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ når $x$ vokser gjennom $x_{0}$.

Et indre punkt $x=x_{0}$ er et lokalt strengt minimumspunkt dersom $f'(x_{0})=0$ og den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv når $x$ vokser gjennom $x_{0}$.

I begge tilfeller gjelder at ekstremalverdien er $f(x_{0})$.

Andre-deriverte-test for lokalt ekstremalpunkt

For en funksjon som er to ganger deriverbar vil de to følgende testene gi tilstrekkelige vilkår for ekstremalverdi.

Et indre punkt $x=x_{0}$ er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom $f'(x_{0})=0$ og $f''(x_{0})<0$.

Et indre punkt $x=x_{0}$ er et lokalt strengt minimumspunkt dersom $f'(x_{0})=0$ og $f''(x_{0})>0$.

Vurdering av kritiske punkt der funksjonen ikke er deriverbar

Isolerte punkt der funksjonen ikke er deriverbar kan være ekstremalpunkt, og et typisk eksempel på dette er gitt ved punktet $x=0$ for absoluttverdi-funksjonen

$f(x)=|x|=\left\{{\begin{array}{rl}x,&{\text{hvis }}x\geq 0\\-x,&{\text{hvis }}x<0.\end{array}}\right.$

Slike punkt må undersøkes spesielt, ved å studere monotonisitet på hver side av punktet.

Også endepunkt i en definisjonsmengde spesifisert som et intervall, må undersøkes spesielt, ved hjelp av monotonisitet.

Fortegnsanalyse

Fortegnsskjema for funksjonen $f(x)=(x-2)^{2}(x-4)$

Fortegnet til en funksjoner og deriverte i ulike intervall kan studeres ved hjelp av et fortegnsskjema. Grunnlaget for skjemaet er en faktorisering av uttrykket, og skjemaet kombinerer fortegnet til alle faktorene i uttrykket.

Det eksisterer ulike framstillinger for et fortegnsskjema, men et eksempel er vist i figuren til høyre, for funksjonen

$f(x)=(x-2)^{2}(x-4)$

I skjemaet markeres nullpunktene i uttrykket, her lik $x=2$ og $x=4$. Deretter markeres fortegnet for hver faktor. En heltrukken linje er brukt dersom faktoren er positiv, en stiplet linje dersom faktoren er negativ. Et nullpunkt der faktoren ikke skifter tegn kan markeres med en null. Ved å telle opp antall faktorer som er positive/negative i et intervall, finner en fortegnet til hele uttrykket: dette er positivt hvis antall negative ledd er et partall. Fortegnet til hele uttrykket er vist på den nederste linjen.

For funksjoner som ikke kan faktoriseres kan en beregne funksjonsverdier for argumenter som er mellomliggende verdier til nullpunktene. Fortegnet til en slik funksjonsverdi vil være lik fortegnet i hele intervallet mellom nullpunktene. For funksjonen over, viser $f(3)=-1$ at funksjonen er negativ i intervallet $(2,4)$.

Resultatet fra en fortegnsanalyse for en funksjon og deriverte kan samles i en fortegnstabell. En slik tabell viser nullverdier og fortegn for et utvalg av funksjonsargumenter. For funksjonen over er

${\begin{alignedat}{2}f'(x)&=(x-2)(3x-10)\\f''(x)&=2(3x-8)\end{alignedat}}$

En fortegnstabell kan dermed se slik ut:

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$f''(x)$
1	-	+	-
2	0	0	-
8/3	-	-	0
10/3	-	0	+
4	0	+	+
5	+	+	+

Krumning og konveksitet

En funksjon er konveks i et intervall dersom en rett linje mellom to vilkårlige punkt i intervallet ligger over grafen til funksjonen i intervallet. Dette kan også uttrykkes som at grafen til funksjonen vender den hule siden oppover eller krummer opp. Funksjonen er strengt konveks dersom grafen ligger helt under den rette linjen. Tilsvarende kan en definere at funksjonen er konkav, dersom den vender den hule siden nedover eller krummer ned.

En deriverbar funksjon er konveks eller krummer opp i et intervall dersom den deriverte er voksende i intervallet. En funksjon som er to ganger deriverbar er strengt konveks i et intervall dersom den dobbelt-deriverte $f''(x)$ er positiv i intervallet. Den dobbelt-deriverte kan også være lik null i isolerte punkt i intervallet.

Funksjonen $f(x)=x^{4}$ har dobbelt-derivert $f''(x)=12x^{2}$. Funksjonen er altså strengt konveks i hele $\mathbb {R}$.

I differensialgeometri er krumningen $\kappa$ til en funksjon gitt ved det følgende uttrykket:

$\kappa ={f'' \over (1+f'^{2})^{3/2}}$

Vendepunkt

Funksjonen $f(x)=x^{3}$ har et vendepunkt for $x=0$. Grafen er også symmetrisk om origo.

Et vendepunkt er et punkt $x_{0}$ der funksjonen skifter krumning, fra opp til ned eller omvendt. Dette vil være tilfelle dersom den dobbelt-deriverte skifter fortegn i $x_{0}$. Igjen kan et fortegnsskjema brukes for å studere skifte av fortegn.

Funksjonen $f(x)=x^{3}$ har dobbelt-derivert $f''(x)=6x$. Funksjonen har altså et vendepunkt i $x=0$.

Tangenten gjennom et vendepunkt kalles en vendetangent. Når et vendepunkt $x_{0}$ er kjent, vil vendetangenten ha ligningen

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

Symmetrier

En funksjon er odde dersom den følgende egenskapen er oppfylt

$f(x)=-f(-x)\qquad x\in D$.

Grafen til en odde funksjon er symmetrisk om origo. Et eksempel på en odde funksjon er $f(x)=\sin x$.

En funksjon er jamn dersom

$f(x)=f(-x)\qquad x\in D$.

Grafen til en jamn funksjon er symmetrisk om $y$-aksen. Et eksempel på en jamn funksjonen er $f(x)=\cos x$.

Ved hjelp av koordinatransformasjoner kan en påvise også andre typer symmetrier. For eksempel er funksjonen $f(x)=(x-2)^{2}$ symmetrisk om den rette linjen $x=2$.

Asymptoter

Horisontale asymptoter

Eksistens av horisontale asymptoter studeres ved å undersøke oppførselen til funksjonen når argumentet går mot $\pm \infty$, dersom definisjonsmengden gir rom for dette. Funksjonen har en horisontal asymptote dersom funksjonen går mot en endelig verdi når argumentet vokser over alle grenser.

Vertikale asymptoter

En funksjon som kan skrives som et kvotientuttrykk

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

vil ha vertikale asymptoter i nullpunkter til funksjonen $h(x)$, dersom $g(x)$ er ulik null for disse verdiene.

For en verdi av $x$ der både $g$ og $h$ er lik null, kan en bruke l'Hôpitals regel for å finne grenseverdien for $f$ når $x$ nærmer seg denne verdien.

Skrå asymptoter

For en gitt funksjon $f(x)$ kan en undersøke om funksjonen har en asymptote $y(x)=ax+b$ ved først å undersøke grenseverdiene

$a=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{x}}$

Her må en undersøke både når $x$ går mot minus og pluss uendelig, det vi si at $c$ enten er lik $-\infty$ eller $+\infty$. Dersom en grenseverdi er endelig, så har funksjonen en skrå asymptote. Da kan den andre koeffisienten $b$ bestemmes ved

$b=\lim _{x\to c}\left(f(x)-ax\right)$

Skisse av grafen

Funksjonsdrøfting avsluttes ofte med en skisse av funksjonen, alternativt ved å tegne grafen i Geogebra. Viktige punkt, som nullpunkt, ekstremalpunkt og vendepunkt, markeeres i figuren.

Dersom definisjonsmengden er lik hele $\mathbb {R}$, så bør oppførselen til funksjonen når argumentet vokser over alle grenser indikeres. Asymptoter bør skisseres.

Helhetlig eksempel

Graf til funksjonseksempel

Gitt funksjonen

$f(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-2x^{2}+3x\qquad x\in \mathbb {R}$

Funksjonen kan faktoriseres på formen

$f(x)={\frac {1}{3}}x(x^{2}-6x+9)={\frac {1}{3}}x(x-3)^{2}$

Funksjonen har definisjonsmengde lik hele $\mathbb {R}$. Et fortegnsskjema viser at funksjonen kan være både positiv og negativ. Funksjonen vokser over alle grenser når $x\to \infty$, og funksjonen går mot minus uendelig når $x\to -\infty$. Verdimengden er altså også lik $\mathbb {R}$.

Funksjonen er kontinuerlig i hele definisjonsområdet.

Fra faktoriseringen kan en se at nullpunkt er gitt ved $x=0$ og $x=3$, der det siste punktet er et dobbelt nullpunkt.

Derivasjon av funksjonen gir

${\begin{alignedat}{2}f'(x)&=x^{2}-4x+3=(x-3)(x-1)\\f''(x)&=2x-4=2(x-2)\end{alignedat}}$

Funksjonen er strengt voksende i begge de to intervallene $(-\infty ,1)$ og $(3,\infty )$ og strengt minkende i intervallet $(1,3)$.

Et lokalt minimumspunkt er definert for $x=3$, siden den deriverte er null for dette argumentet og $f''(3)=2$, som er positiv. Den lokale minimumsverdien er $f(3)=0$. Funksjonen har også et lokalt maksimumspunkt for $x=1$, siden den deriverte er lik null og $f''(1)=-2$, som er negativ. Maksimumsverdien er $f(1)=4/3$. Alternativt kunne testen for tegnskifte i den førsteordens-deriverte bli brukt til å påvise ekstremalpunktene.

Ingen av ekstremalverdiene er globale ekstremalverdier, siden verdimengden er lik hele $\mathbb {R}$.

Funksjonen har et vendepunkt for $x=2$, siden den dobbelt-deriverte er lik null og skifter fortegn for dette argumentet. Funksjonen er konveks eller krummer opp når $x>2$, siden den dobbelt-deriverte er positiv for disse verdiene. Tilsvarende krummen funksjonen ned når $x<2$. Vendetangenten har ligningen

${\begin{alignedat}{2}y&=f(2)+f'(2)(x-2)\\y&={\frac {2}{3}}-1(x-2)\\y&=-x+{\frac {8}{3}}\end{alignedat}}$

Grafen til funksjonen er ikke symmetrisk om origo og heller ikke symmetrisk om $y$-aksen.

Funksjonsdrøfting for skalarfelt

Et skalarfelt er en reell funksjon av flere variable, på formen

$y=f(x):D\rightarrow \mathbb {R} \qquad D\subset \mathbb {R} ^{n}$.

Argumentet $x=(x_{1},x_{2},x_{3},....)$ er her en n-dimensjonal vektor.

Analyse av en slik funksjon kan studere egenskaper tilsvarende som for en funksjon av én variabel. En kan granske definisjonsmengden, verdimengden og kontinuitetsegenskaper.

Dersom et skalarfelt har partiell deriverte av første og andre orden, så er de to følgende vilkårene til sammen tilstrekkelig for at funksjonen skal ha et lokalt ekstremalverdi:

• Gradienten til funksjonen er lik null. Punkt der dette er oppfylt kalles stasjonære punkt.
• Egenverdiene til hessematrisen er alle positive, for en minimumsverdi, eller alle negative, for en maksimumsverdi.

Dersom hessematrisen har noen positive, noen negative egenverdier i et stasjonært punkt, så er dette et sadelpunkt.

Litteratur

• Tom Lindstrøm (1995). Kalkulus. Oslo: Universitetsforlaget. ISBN 82-00-22472-4. 

• Karl Erik Sandvold (1990). Matematikk 2MN. Oslo: Gyldendal Norsk Forlag. ISBN 82-05-18865-3. 

• G. Thomas, R. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (5th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7. CS1-vedlikehold: Ekstra tekst (link)

Eksterne lenker

• Drøfting av funksjoner, Matematikk R1 Nasjonal digital læringsarena. Besøkt 23. januar 2021.
• Drøfting av funksjoner, Matematikk R2 Nasjonal digital læringsarena. Besøkt 23. januar 2021.
• Drøfting av funksjoner, Matematikk S2 Nasjonal digital læringsarena. Besøkt 23. januar 2021.