Vektoranalyse

Illustrasjon av det todimensjonale vektorfeltet V(x,y) = (sin y, sin x).

Vektoranalyse er en del av matematikken som omhandler derivasjon og integrasjon av vektorfelt. Denne delen av matematisk analyse kan formuleres ved grunnleggende formler som har de fleste praktiske anvendelser i tre dimensjoner. Dette gjelder særlig innen hydrodynamikk og elektromagnetisme.

Noe av den vanlige vektoranalysen kan benyttes i høyere dimensjoner. Den inngår da som en del av den mer generelle tensoranalysen. En lignende generalisering kan også gjøres ved bruk av differensielle former.

Vektoranalyse har sitt utgangspunkt i oppdagelsen til William Hamilton av kvaternioner på midten av 1800-tallet. Denne matematiske formalismen ble benyttet av James Maxwell et par tiår senere ved utarbeidelsen av teorien for elektromagnetiske felt.

På slutten av århundret innførte Josiah Willard Gibbs den moderne vektoranalysen som Oliver Heaviside gjorde bruk av til å gi Maxwells ligninger den moderne formen de har i dag. Gjennom boken Vector Analysis til en av Gibbs' studenter fikk denne nye formuleringen en internasjonal utbredelse og ble raskt tatt i bruk. I dag er vektoranalytiske metoder og beregninger standard innen matematikk, fysikk og de fleste ingeniørfag.

DerivasjonRediger

Ved derivasjon kan man beregne hvordan en funksjon av flere variable F(x1,x2,...,xN) varierer med hensyn til forandringer i disse. Med N variable kan man danne N slike partielle deriverte av funksjonen. Disse kan skrives på den kompakte formen

 

for n = 1, 2, ..., N. De utgjør komponentene til en vektor V = (V1,V2,...,VN) hvor Vn = ∂nF og kalles for gradienten til funksjonen.[1]

Funksjonen F(x1,x2,...,xN) kan betraktes som et skalart felt på en mangfoldighet eller rom med N dimensjoner hvor hvert punkt er angitt ved koordinatene (x1,x2,...,xN). Gradienten V(x1,x2,...,xN) er da et vektorfelt som står vinkelrettekvipotensialflater der funksjonen F(x1,x2,...,xN) = konstant.

Tre dimensjonerRediger

I et tredimensjonalt, euklidsk rom hvor punkter angis i et kartesisk koordinatsystem (x, y, z) med basisvektorer ex, ey og ez, kan gradienten av funksjonen F(x, y, z) uttrykkes ved nabla-operatoren   og skrives som

 

Da nabla er en vektoroperator, kan den virke på et vektorfelt A(x, y, z) = Axex + Ayey + Azez på to forskjellige måter. Enten kan den kombineres med dette ved et skalert indreprodukt eller ved et vektorielt kryssprodukt. Den første muligheten gir opphav til divergensen

 

av vektorfeltet som er en skalar størrelse. Derimot ved bruk av den andre muligheten basert på vektorproduktet, finner man curl av feltet som er et nytt vektorfelt. Fra definisjonen av kryssproduktet kan denne vektorderivasjonen skrives som

 

Det vektorielle produktet av to vektorer eksisterer bare i rom med tre dimensjoner. Man kan derfor ikke uten videre benytte curl i rom med høyere dimensjoner enn N = 3. Denne begrensningen eksisterer ikke for divergensen av vektorfelt som kan defineres på samme måte som i tre dimensjoner.[1]

ReferanserRediger

  1. ^ a b M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.