Laplace-operator er en differensiell vektor-operator i matematikk, definert som divergensen til gradienten til en funksjon i et euklidsk rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon skrives som regel som , eller , der er nabla-operatoren[1].

Definisjon rediger

Laplace-operatoren er en andreordens differensialoperator som i kartesiske koordinater er gitt ved:

 

Merk at   må være to ganger deriverbar og at   er definert ved:

 

Forskjellige koordinatsystem rediger

Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.

To dimensjoner rediger

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

 

der   og   er standard kartesiske koordinater i  -planet.

I et polarkoordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

 

der   er avstand fra origo og   er vinkel i forhold til det man vil kalle  -aksen i et kartesisk koordinatsystem.

Tre dimensjoner rediger

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

 

der  ,   og   er standard kartesiske koordinater i  -rommet.

I sylinderkoordinater er Laplace operatoren gitt ved

 

der   er avstand fra origo til projeksjonen i  -planet,   er vinkel i forhold til det man vil kalle  -aksen i et kartesisk koordinatsystem, og   er høyden.

I kulekoordinater er Laplace operatoren gitt ved

 

der   er avstand fra origo og   angir vinkelen.

Se også rediger

Referanser rediger

  1. ^ Weisstein, Eric W. «Laplacian». Besøkt 15. september 2016.  From MathWorld--A Wolfram Web Resource.