Schrödinger-ligning

Schrödinger-ligningen er den ligningen som beskriver hvordan kvantemekaniske systemer utvikler seg med tiden. Den ble først stilt opp i 1926 av den østerrikske fysikeren Erwin Schrödinger basert på betraktninger fra klassisk mekanikk. Bakgrunnen for dette var forslaget til den franske fysiker Louis de Broglie to år tidligere om at partikler kunne tilordnes bølgeegenskaper. Ligningen var derfor en konkret realisasjon av denne ideen og beskriver det som ofte blir kalt materiebølger. Kort tid etterpå viste Schrödinger selv at den ga riktige verdier for spektrumet til hydrogenatomet. Snart viste det seg at den med stort hell også kunne brukes til å beskrive mer kompliserte atomer og molekyler.

Dette representerte begynnelsen på kvantemekanikken som dermed også ble kalt for «bølgememanikk» beskrevet ved Schrödinger-ligningen. Samtidig med at denne ble tatt i bruk, hadde den tyske fysiker Werner Heisenberg gitt en alternativ beskrivelse av kvantemekaniske fenomen hvor de klassiske variable ble erstattet med ikke-kommuterende operatorer. Det ble fort klart at denne beskrivelsen var ekvivalent med beskrivelsen til Schrödinger. Da operatorene til Heisenberg kunne representeres som matriser, kalles denne formuleringen ofte for matrisemekanikk. En mer abstrakt formulering ble etter kort tid gitt av den engelske fysiker Paul Dirac som forente på en elegant måte beskrivelsene til Schrödinger og Heisenberg.

I sitt opprinnelig arbeid fokuserte Schrödinger på bølgeligningen for en partikkel. For at denne skulle gi en riktig beskrivelse av hydrogenatomet, måtte partikkelen bevege seg ikke-relativistisk. Det ble raskt klart at man kan også stille opp en Schrödinger-ligning for mange ikke-relativistiske partikler som vekselvirker. Spesielt etter arbeidet til Dirac ble det klart at formen på den opprinnelige ligningen er generelt gyldig for alle kvantemekaniske systemer, også for relativistiske partikler og kvantefelt. Men selv om formen alltid er den samme, er inneholdet av ligningen vidt forskjellig i de forskjellige situasjoner.

Bølgefunksjonen Ψ = Ψ(x,t) til Schrödinger er i alminnelighet et komplekst tall. Den er en abstrakt størrelse som gir informasjon om hvor en partikkel finnes. Mer nøyaktig, Ψ^*Ψ er sannsynligeten for å finne partikkelen ved et bestemt sted og ved et bestemt tidspunkt som foreslått av den tyske fysiker Max Born kort tid etter at Schrödinger fremla sin teori.

For en ikke-relativistisk partikkel med masse m som beveger seg i et potensial V = V(x,t) , er denne «sannsynlighetsbølgen» styrt av Schrödinger-ligningen

$i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (\mathbf {x} ,t)={\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+V(\mathbf {x} ,t){\Big ]}\Psi (\mathbf {x} ,t)$

Her er den reduserte Plancks konstant ħ = h/2π  og i er den imaginære enhet. Ligningen er en lineær, partiell differensialligning. Men i motsetning til vanlige bølgeligninger som er av andre orden i tiden, er denne av første orden. På høyre side av ligningen opptrer Hamilton-operatoren for partikkelen som beskrives. Denne operatoren ${\hat {H}}$ ser forskjellig ut avhengig av hvor mange partikler som inngår i systemet, hvordan de vekselvirker eller hvilke variable som beskriver systemet. Men alltid har Schrödinger-ligningen den samme formen

$i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi ={\hat {H}}\Psi$

hvor Ψ er en generalisert bølgefunksjon avhengig av de variable som inngår i Hamilton-operatoren. Denne funksjonen vil i det mer generelle tilfellet ikke lenger være en enkelt bølge, men må heller kalles en kompleks sannsynlighetsamplitude der Ψ^*Ψ gir sannsynligheten for å observere systemet i en tilstand med bestemte egenskaper.

Bølgefunksjoner og operatorer

Schrödinger-ligningen kan ikke utledes fra klassisk fysikk eller mer kjente, fundamentale lover. Den beskriver noe helt nytt som tilhører en mikroskopisk verden som vi i utgangspunktet har vanskeligheter med å fatte og gjøre forståelig. Det er på samme måte som i klassisk mekanikk hvor alt kan forklares ved mekaniske lover som oppstår fra et fundamentalt virkningsprinsipp. Hvor dette kom fra, visste man opprinnelig ikke. Men i dag vet vi at dette er en konsekvens av den underliggende kvantemekanikken hvor Schrödinger-ligningen danner fundamentet.

Men man kan sannsynliggjøre formen på Schrödinger-ligningen ved betraktninger basert på klassisk fysikk. Det enkleste er å første betrakte en fri partikkel med masse m og impuls p har energi E = p²/2m . Impulsen p er konstant for en fri partikkel. Inspirerert av dualiteten til lys som noen ganger kan beskrives som bølger og noen ganger som partikler, foreslo de Broglie at kanskje kunne en materiell partikkel som et elektron beskrives som en bølge. Som for et foton skulle den ha en frekvens gitt ved ν = E/h  hvor h er Plancks konstant. Denne sammenhengen var først foreslått av Einstein i hans forklaring av den fotoelektriske effekt. Likedan skulle partikkelen ha en bølgelengde λ = h/p som også gjelder for fotonet. Den matematiske formen på bølgen må da være

$\Psi (\mathbf {x} ,t)\propto e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}$

hvor k = 2π/λ  er det vanlige bølgetallet og ω = 2πν er vinkelfrekvensen. Men denne amplituden kan man nå likså godt uttrykke ved partikkelens egenskaper,

$\Psi (\mathbf {x} ,t)\propto e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -Et)/\hbar }$

Dette er da materiebølgen for en fri partikkel som de Broglie og Schrödinger først tenkte seg. Den har kanskje den litt overraskende egenskapen at den har en utbredelseshastighet u = E/p som er forskjellig fra partikkelens hastighet v = p/m .

Bølgefunksjonen inneholder nå informasjon om partikkelens impuls og energi. For eksempel, ved å bruke nabla-operatoren kan man definere en impulsoperator

${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}=-i\hbar {\partial \over \partial \mathbf {x} }$

slik at den har egenskapen ${\hat {\mathbf {p} }}\Psi =\mathbf {p} \Psi$. Den gir partikkelens impuls multiplisert med samme bølgefunksjon. Man sier at bølgefunksjonen i dette tilfellet er en egenfunksjon for impulsen. På samme måte vil operatoren iħ∂ /∂ t gi energien E til partikkelen.

Partikkel i ytre potensial

For å finne Schrödingers ligning for en partikkel som beveger seg i et ytre potensial slik at den har en potensiell energi V = V(x) , kan man gå ut fra Hamilton-funksjonen

$H(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={\mathbf {p} ^{2} \over 2m}+V(\mathbf {x} )$

Den gir Hamiltons ligninger som beskriver den klassiske bevegelsen. I dette tilfellet er Hamilton-funksjonen uavhengig av tiden og partikkelen i potensialet har derfor en konstant energi E.

I den kvantemekansike bølgebeskrivelsen er partikkelens bevegelse styrt av Hamilton-operatoren. Den finnes fra den klassiske Hamilton-funksjonen ved å erstatte den klassiske impulsen $\mathbf {p}$ med impulsoperatoren ${\hat {\mathbf {p} }}$. Det gir Hamilton-operatoren

${\hat {H}}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+V(\mathbf {x} )$

Når denne nå virker på bølgefunksjonen, skal den gi energien E til partikkelen. Bølgefunksjonen skal altså være en egenfunksjon for energien. Mer presist betyr det matematisk at ${\hat {H}}\psi =E\psi$ som skrevet ut gir

${\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+V(\mathbf {x} ){\Big ]}\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )$

Dette kalles den stasjonære Schrödinger-ligningen. Variasjonen med tiden i denne bølgefunksjonen er nå gitt ved energien E på samme måte som for en fri partikkel. Men avhengigheten av koordinaten x er nå mer komplisert og må finnes ved å eksplisitt løse denne differensialligningen. Det viser seg at det kun lar seg gjøre når energien E tar bestemte, ofte diskrete verdier. Denne matematiske egenskapen ga dermed en mer generell kvantisering av et system med partikler enn reglene til Bohr og Sommerfeld.

I det generelle tilfellet der potensialet V = V(x,t)  varierer med tiden, er ikke Hamilton-funksjon for partikkelen lenger konstant. Den har derfor heller ikke noen bestemt energi. Tidsavhengigheten i bølgefunksjonen Ψ(x,t) er derfor annerledes enn for en fri partikkel, og den stasjonære Schrödinger-ligningen gjelder ikke lenger. Tidsavhengigheten til bølgefunksjonen må nå beregnes fra den generelle ligningen gitt i innledningen. Denne generelle Schrödinger-ligningen kan ikke lenger utledes, men er et kvantemekanisk postulat. Denne stemmer med alle observasjoner og mest nøyaktige eksperiment.

Mange partikler

At bølgefunksjonen ikke beskriver en vanlig bølge i vårt rom, blir mer tydelig hvis man betrakter et system av N ikke-relativistiske partikler av samme type. Hvis de har en gjendig, potensiell vekselvirkningsenergi på den mest generelle form V = V(x₁, x₂, ..., x_N) . Bølgefunksjonen Ψ = Ψ(x₁, x₂, ..., x_N, t ) vil nå avhenge av koordinatene til alle partiklene og beskriver ikke noen enkel bølge lenger. Den kan beregnes fra en mer komplisert Schrödinger-ligning som igjen kan finnes ved å gå ut fra den klassiske Hamilton-funksjonen

$H={1 \over 2m}\sum _{n=1}^{N}\mathbf {p} _{n}^{2}+V(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots ,\mathbf {x} _{N},t)$

til systemet. Den tilsvarende Hamilton-operatoren utledes nå ved å la $\mathbf {p} _{n}\rightarrow -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}_{n}$. Det gir Schrödinger-ligningen

$i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots ,\mathbf {x} _{N},t)={\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}\sum _{n=1}^{N}{\boldsymbol {\nabla }}_{n}^{2}+V(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots ,\mathbf {x} _{N},t){\Big ]}\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots ,\mathbf {x} _{N},t)$

Det er slike ligninger som må løses for å beregne energien til elektronene i et atom eller egenskapene til en atomkjerne hvor protoner og nøytroner er sterkt bundet sammen. Matematisk er dette et vanskelig problem og kan vanligvis kun gjøres ved bruk av forskjellige approksimasjoner.

I det spesielle tilfellet at den potensielle energien kan skrives som en sum

$V(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots ,\mathbf {x} _{N})=\sum _{n=1}^{N}U(\mathbf {x} _{n})\,,$

kan løsningen av Schrödinger-ligningen for en partikkel gi bølgefunksjonen for alle partiklene. Dette tilsvarer at partiklene beveger seg i et felles, ytre potensial U = U(x) uten gjensidig vekselvirkning.

To partikler

I mange sammenhenger har man kun med to partikler å gjøre. Typiske eksempler er hydrogenatomet bestående av et proton og et elektron som beveger seg i et felles Coulomb-potensial. Eller det kan være et proton og nøytron som er holdt sammen av den sterke kraften i atomkjernen til deuterium. I begge disse tilfeller er partiklene kun påvirket av en gjensidig kraft som avhenger av avstanden mellom dem. Schrödinger-ligningen for dette systemet er den kvantemekaniske versjonen av det klassiske tolegemeproblemet.

Betegnes posisjonene til de to partiklene med vektorene x₁ og x₂, vil de derfor bevege seg i et gjensidig potensial V(r) hvor den relative avstanden er gitt ved differensen r = x₁ - x₂. Den stasjonære Schrödinger-ligningen for dette systemet med total energi E_tot er derfor

${\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m_{1}}{\boldsymbol {\nabla }}_{1}^{2}-{\hbar ^{2} \over 2m_{2}}{\boldsymbol {\nabla }}_{2}^{2}+V(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}){\Big ]}\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=E_{tot}\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})$

når de to partiklene har masser m₁ og m₂. Ved å innføre posisjonsvektoren

$\mathbf {R} ={m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2} \over m_{1}+m_{2}}$

for massesenteret, finner man for den deriverte

${\boldsymbol {\nabla }}_{1}={m_{1} \over m_{1}+m_{2}}{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {R} }+{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {r} }$

og tilsvarende for ∇₂ som får motsatt fortegn i siste ledd. Med bruk av de nye posisjonsvektorne R og r tar dermed Schrödinger-ligningen formen

${\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2M}{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {R} }^{2}-{\hbar ^{2} \over 2m_{r}}{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {r} }^{2}+V(\mathbf {r} ){\Big ]}\Psi =E_{tot}\Psi$

der M = m₁ + m₂  er den totale massen til systemet. Den beveger seg med messesenteret, mens

$m_{r}={m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}$

er den reduserte massen til de to partiklene. Bølgefunksjonen kan nå betraktes som en funksjon Ψ = Ψ(R,r). Da Hamilton-operatoren er en sum av to deler hvor hver avhenger kun av en posisjonsvektor, vil denne nye funksjonen ha formen

$\Psi (\mathbf {R} ,\mathbf {r} )=\Psi _{CM}(\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} )$

hvor den første delen beskriver bevegelsen av messesenteret, mens ψ(r) beskriver kvantemekanisk den relative bevegelsen. Da ingen ytre krefter virker på messesenteret, vil det bevege seg som en fri partikkel med en viss, konstant impuls P slik at den tilsvarende bølgefunksjonen er

$\Psi _{CM}(\mathbf {R} )=e^{i\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} /\hbar }$

Innsatt i den fulle Schrödinger-ligningen for systemet, ser man da at dets totale energi er

$E_{tot}={\mathbf {P} ^{2} \over 2M}+E$

hvor nå E er energien til den relative bevegelsen. Den er gitt ved løsning av den reduserte Schrödinger-ligningen

${\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m_{r}}{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {r} }^{2}+V(\mathbf {r} ){\Big ]}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )$

Hele beregningen er på denne måten forenklet til et «etlegemeproblem» i form av en differensialligning for en bølgefunksjon med tre variable r = (x,y,z). Det er på denne formen ligningen danner utgangspunktet for beregning av energinivåene i hydrogenatomet og i andre, lignende system.

Klassisk grense

Schrödinger konstruerte sin bølgeligning ved å ta utgangspunkt i den klassiske Hamilton-Jacobi-ligningen. For en ikke-relativistsik partikkel i et ytre potensial V = V(x,t)  er denne

${1 \over 2m}({\boldsymbol {\nabla }}S)^{2}+V(\mathbf {x} ,t)+{\partial S \over \partial t}=0$

hvor S = S(x,t) er Hamiltons prinsipale funksjon, også kalt klassisk virkning. Impulsen til partikkelen p = ∇S  står normalt på flaten S = konst. Disse flatene definert av virkningsfunksjonen S kan derfor i noen henseende betraktes som bevegelige bølgefronter. For en fri partikkel med impuls p og energi E er også S = p⋅x - Et  som ikke er noe annet enn fasefunksjonen for en plan bølge med fasehastighet u = E/p.

Med dette utgangspunktet tenkte Schrödinger seg at bølgefunksjonen for en partikkel i et potensial kunne skrives på formen

$\Psi (\mathbf {x} ,t)=A(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }$

hvor A= A(x,t)  er en ukjent funksjon, mens S = S(x,t) er den klassiske virkningen. I eksponenten må vi dividere den med Plancks konstant da den har samme dimensjon som virkningen. Denne konstanten kalles også derfor noen ganger for virkningskvantet. I grensen hvor dette går mot null, skal alle kvanteeffekter forsvinne og klassisk fysikk være gyldig. Oppgaven til Schrödinger var da å finne en bølgeligning som ga Hamilton-Jacobi-ligningen i denne grensen h → 0 .

Vil man verifisere at hans tidsavhengige bølgeligning oppfyller dette kravet, må man først beregne den tidsderiverte

$i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi =\left[i\hbar {\partial A \over \partial t}-A{\partial S \over \partial t}\right]e^{iS/\hbar }$

og deretter den dobbelte, romlige deriverte

$\hbar ^{2}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\Psi =\left[\hbar ^{2}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}A-A({\boldsymbol {\nabla }}S)^{2}+2i\hbar ({\boldsymbol {\nabla }}A)\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}S)+i\hbar A{\boldsymbol {\nabla }}^{2}S\right]e^{iS/\hbar }$

Settes nå dette inn i den tidsavhengige Schrödinger-ligningen, og man beholder kun de leddene som er uavhengige av Plancks konstant, ser man at man står igjen med akkurat Hamilton-Jacobi-ligningen. Det er dette som ligger til grunn for WKB-approksimasjonen for løsning av den fulle Schrödinger-ligningen.

Det er interessant at Schrödinger tok aller først utgangspunkt i Hamilton-Jacobi-ligningen for en relativistisk partikkel. Det ga han på samme måte en relativistisk bølgeligning som i dag kalles for Klein-Gordon-ligningen. Men den forkastet han da den ikke ga riktig verdier for energinivåene til elektronet i hydrogenatomet. Men det er ingen feil med denne bølgeligningen. Grunnen er bare at i en relativistisk beskrivelse av elektronet må man også ta hensyn til at det har et spinn. Kombinasjonene av disse to effektene ble først gjort et par år senere av Dirac og matematisk formulert i Dirac-ligningen.

Se også

• Materiebølger
• Matrisemekanikk
• Kvantemekanikk

Litteratur

• E. Schrödinger, An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, Physical Review 28, 1049–1070 (1926).
• P. C. Hemmer, Kvantemekanikk, Tapir akademiske forlag, Trondheim (2005).

Eksterne lenker

• «Schrödinger equation», fra Encyclopedia of Mathematics (engelsk)
• «Quantum Mechanics and the Schrödinger Equation», fra professor Dave (engelsk)