Kontinuitetsligning

Kontinuitetsligning er en partiell differensialligning som lokalt uttrykker bevarelse av en fysisk størrelse i et kontinuerlig system. Den beskriver hvordan forandringen med tiden til tettheten ρ  av denne størrelsen er forbundet med forandringen i rommet til strømtettheten J  av samme størrelse. Matematisk kan den skrives som

Illustruasjon av hvordan fluksen av en størrelse q gjennom to flater S₁ og S₂ forårsakes av et hastighetsfelt v som varierer i rommet.

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0$

når man gjør bruk av nabla-operatoren. I hydrodynamikken finnes en slik bevarelsesligning for masse, mens i elektrodynamikken uttrykker den bevarelse av elektrisk ladning. I tillegg kan bevarelse av impuls og energi i begge disse systemene uttrykkes på samme måte.

Som vist av Emmy Noether følger disse bevaringslovene fra forskjellige symmetrier som alltid er tilstede. Kontinuitetsligningen opptrer derfor også i moderne elementærpartikkelfysikk og uttrykker der bevarelse av kvantetallene som karakteriserer disse fundamentale partiklene.

Matematisk utledning

En bevart størrelse kan ikke oppstå eller bare forsvinne. Mengden av den på et sted kan bare forandres ved at deler av den strømmer til eller fra dette stedet. Er den beskrevet ved tettheten ρ  = ρ(x,t), er mengden av den Q  innen et endelig volum V  gitt ved integralet

$Q(t)=\int _{V}\!d^{3}x\rho (\mathbf {x} ,t)$

Øker denne mengden, må det skyldes at det er strømmet noe inn. Omvendt vil noe ha strømmet ut hvis mengden Q  er blitt mindre. Denne strømmen er gitt ved fluksvektoren J = J(x,t). Betrakter man et lite flateelement d S  med retning normalt på flaten, vil mengden som strømmer gjennom det være gitt ved den differensielle fluksen J⋅d S. Integrerer man dette derfor over hele overflaten S  til volumet V, vil det gi den totale mengden som har strømmet ut av volumet per tidsenhet. Derfor har man at

${dQ \over dt}=-\oint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S}$

som kan sies å være en global versjon av kontinuitetsligningen. Den lokale formen av ligningen fås ved å skrive venstre side som

${dQ \over dt}=\int _{V}\!d^{3}x{\partial \rho \over \partial t},$

mens høyre side omformes ved bruk av divergensteoremet. Det gir

$\int _{V}\!d^{3}x\left({\partial \rho \over \partial t}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)=0$

Volumet som her er valgt, er ganske vilkårlig. Derfor må dette resultatet være gyldig for alle volum. Den eneste måten denne globale ligningen da alltid kan være gyldig, er at inneholdet i parentesen er null. Det gir kontinuitetsligningen på lokal form.

Under stasjonære forhold når ladninger og strømmer er konstante, vil ∂ρ/∂ t = 0 slik at strømtettheten må overalt oppfylle ∇⋅J = 0. Den vil derfor gå i en lukket kurve som tilsvarer en strømkrets. Gjennom overflaten til et endelig volum vil like mye strømme inn som det strømmer ut.

Punktpartikler

Bevarte størrelser i fysikken kan vanligvis forbindes med egenskaper til enkelte partikler. I en kontinuerlig fordeling kan de ble beskrevet som punktpartikler uten utstrekning og med den bevarte egenskapen konsentrert i det punkt hvor partikkelen befinner seg. Dette kan matematisk beskrives ved Diracs deltafunksjon. For eksempel, en samling partikler hvor hver har ladning q_a  og beveger seg langs banene x_a(t), gir opphav til ladningstettheten

$\rho (\mathbf {x} ,t)=\sum _{a}q_{a}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{a}(t))$

og strømtettheten

$\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\sum _{a}q_{a}\mathbf {v} _{a}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{a}(t))$

hvor v_a = d x_a /dt  er hastigheten til partikkel med merkelapp a. Da dette er en klassisk beskrivelse hvor partiklene hverken kan spontant forsvinne eller oppstå, må deres totale ladning

$Q=\sum _{a}q_{a}$

være konstant under deres bevegelse. Dette kommer igjen til uttrykk ved at kontinuitetsligningen er oppfylt. Det følger fra

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} &=\sum _{a}q_{a}\nabla _{k}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{a}(t)){dx_{a}^{k} \over dt}=-\sum _{a}q_{a}{\partial \over \partial x_{a}^{k}}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{a}(t)){dx_{a}^{k} \over dt}\\&=-\sum _{a}q_{a}{\partial \over \partial t}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{a}(t))=-{\partial \rho \over \partial t}\end{aligned}}$

etter å ha brukt Einsteins summekonvensjon i den romlige derivasjonen og tatt tidsderivasjonen utenfor summetegnet. Dette resultatet er uavhengig av hvilken type ladning som er bevart. Hvis man her hadde satt q_a = 1, ville ρ  ha gitt antallstettheten av partikler, det vil si antall partikler per volumenhet og Q  ville vært det totale antall partikler i systemet.

Hastighetsfelt

Når tettheten av partikler er veldig stor, kan man erstatte de individuelle hastighetene v_a(t)  med funksjonen v(x_a,t)  etter å ha innført et hastighetsfelt v(x,t)  som angir hastigheten til en partikkel som befinner seg i posisjon x  ved tiden t. Strømtettheten kan dermed forenkles til

${\begin{aligned}\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)&=\sum _{a}q_{a}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{a}(t))\mathbf {v} (\mathbf {x} _{a},t)=\sum _{a}q_{a}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{a}(t))\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\\&=\rho (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\end{aligned}}$

Hadde dette vært en elektrisk strømtetthet i en leder, ville hastighetsfeltet være gitt ved «driftshastigheten» til ladningsbærerne.

Hydromekanikk

En flytende væske er karakterisert ved en skalar massetetthet ρ(x,t) og et vektorielt hastighetsfelt v(x,t). Betrakter man nå et lite volum V  som flyter med væsken, vil dette raskt endre form da overflaten består av partikler. I løpet av et svært lite tidsrom, beveger disse seg et lite stykke Δx  slik at det medfølgende volumet forandres med

$\Delta V=\oint _{\partial V}d\mathbf {S} \cdot \Delta \mathbf {x}$

hvor d S  er et lite flateelement på overflaten S = ∂V. Hastigheten til denne volumforandringen er derfor

${dV \over dt}=\oint _{\partial V}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {v} =\int _{V}\!d^{3}x{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =V\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v}$

når volumet er så lite at hastigheten i det kan anses som konstant. Betingelsen på hastighetsfeltet for dets størrelsen ikke skal forandres, er derfor at ∇⋅v = 0. En slik væske sies å være inkompressibel.

Under en slik flyt må massen ρV  i volumet alltid være konstant da det består hele tiden av de samme partiklene. Derfor må man ha at

${d \over dt}(\rho V)={d\rho \over dt}V+\rho {dV \over dt}=0$

De deriverte her er «totalderiverte» eller materielt deriverte da de uttrykker forandringene fra et medfølgende observasjonspunkt i væsken. Da tettheten varierer både i tid og rom, det vil si med t og x, er den materielt deriverte

${d\rho \over dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x^{k}}{dx^{k} \over dt}={\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\rho$

Den partielt deriverte ∂ρ/∂t  sier hvor mye tettheten forandrer seg med tiden i et gitt punkt, mens gradienten ∇ρ sier hvordan tettheten forandrer seg i rommet ved et gitt tidspunkt.

Ved nå å sette inn dette i ligningen for bevarelse av masse i det medfølgende volumet, finner man

$\left({\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\rho \right)V+\rho V\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =0$

eller

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \rho \mathbf {v} =0$

som igjen er kontinuitetsligningen med strømtettheten J = ρ v. For en inkompressibel væske er derfor dρ/dt = 0  slik at den medfølgende tettheten er konstant.

Dynamikk

Newtons andre lov for et væskeelement med volum V, er ρV(dv/dt) = F  hvor denne kraften er gitt som summen av alle krefter som virker på elementet. Hvis man ser bort fra ytre krefter og viskøse effekter, er denne gitt ved trykket p  alene som F = -V ∇p. På den måten fremkommer den dynamiske Euler-ligningen

${d\mathbf {v} \over dt}={\partial \mathbf {v} \over \partial t}+(\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {v} =-{1 \over \rho }{\boldsymbol {\nabla }}p.$

som beskriver en slik ideell væske. På komponentform kan denne bevegelsesligningen skrives som

${\partial \rho v_{i} \over \partial t}+\partial _{j}(\rho v_{i}v_{j})+\partial _{i}p=0,$

ved bruk av Einsteins summekonvensjon og kontinuitetsligningen. Det er her hensiktsmessig å innføre den hydrodynamiske spenningstensoren

$T_{ij}=p\delta _{ij}+\rho v_{i}v_{j}$

ved å benytte Kronecker-symbolet. Euler-ligningen tar da den mer kompakte formen

${\partial \rho v_{i} \over \partial t}+\partial _{j}T_{ij}=0$

som beskriver en slik ideell væske. Viskøse effekter kan tas med ved å bygge disse inn i spenningstensoren.

Kovariant formulering

Kontinuitetsligningen er også gyldig i spesiell relativitetsteori da den uttrykker bevarelse av en fysisk størrelse. Dette kommer tydelig frem ved å innføre Minkowski- koordinater x^μ = (ct, x, y, z)  og den tilsvarende kovariante gradienten ∂_μ = ∂/∂x^μ  hvor c  er lyshastigheten. Da kan ligningen skrives på formen

$\partial _{\mu }J^{\mu }=0$

hvor 4-vektoren J^μ = (cρ,J). Tettheten ρ(x,t)  inngår som nullte komponent i denne vektoren, og har en verdi som tilsvarer at den blir målt i et punkt x  ved tiden t  hvor væsken har hastigheten v(x,t). Et lite volumelement vil derfor være redusert med Lorentz-faktoren

$\gamma ={1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

slik at tettheten er større enn tettheten ρ₀  i væskens hvilesystem med den samme faktor, det vil si ρ = γρ₀. Dette kommer automatisk frem ved å skrive

$J^{\mu }=\rho _{0}u^{\mu }$

hvor u^μ(x,t) = dx^μ/dτ  = γ(c,v)  er 4-hastigheten til væsken. Da ρ₀  er en Lorentz-invariant konstant, viser denne formen tydelig at J^μ = ρ(c,v)  er en 4-vektor.

Energi-impulstensor

I relativitetsteorien kan energi og impuls for en partikkel beskrives ved en 4-vektor. På samme måte kan disse størrelsene i en relativistisk væske beskrives ved en energi-impulstensor. Når væsken er ideell, har den formen

$T_{\mu \nu }=(\rho _{0}+p_{0}/c^{2})u_{\mu }u_{\nu }-p_{0}\eta _{\mu \nu }$

hvor η_μν  er Minkowski-metrikken med de diagonale komponentnene (1, -1, -1, -1)  og ρ₀  og p₀  er massetetthet og trykk i væskens hvilesystem. Der har hastighetsfeltet verdien u^μ = (c, 0, 0, 0)  slik at komponenten T₀₀ = ρ₀c²  er energitettheten til væsken. For en vanlig, ikke-relativistisk væske er denne mye større enn det tilsvarende trykket p₀. Det medfører også at de romlige komponentene T_ij = pδ_ij + ρv_iv_j  som definerer en ideell væske.

Bevarelse av energi og impuls til væsken kan nå uttrykkes ved de kovariante bevarelsesligningene

$\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0.$

Her utgjør komponentene T^μ0  en 4-vektor for energitetthet og tilsvarende strøm, mens komponentene T^μk  utgjør en 4-vektor for impulstetthet og dens strøm. For en ikke-relativistisk væske hvor u^μ = (c,v),  går ∂_μT^μ0 = 0  over i den vanlige kontinuitetsligningen for masse, mens ∂_μT^μk = 0  gir de tre komponentene av den dynamiske Euler-ligningen. Det er som forventet da denne uttrykker akkurat bevarelse av impuls.

Elektrodynamikk

Bevarelse av elektrisk ladning i elektrodynamikken kan også skrives som en kontinuitetsligning. Den er en direkte konsekvens Maxwells ligning

${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

Tar man divergensen av denne, blir

$0={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} +{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

da divergensen av en curl alltid er null. I det siste leddet kan man bytte om på derivasjonene i tid og rom slik at man her kan benytte Gauss' lov på den differensielle formen ∇⋅D = ρ. Dermed fremstår kontinuitetsligningen på den vanlige formen

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0.$

Like direkte følger den fra den relativistiske formuleringen av elektrodynamikken ved å skrive Maxwell-ligningene på den kovariante formen

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }$

hvor F^μν  er Faraday-tensoren som inneholder de elektriske og magnetiske feltkomponentene og J^μ  er den elektriske 4-strømmen. Ved å ta den kovariante gradienten av denne ligningen følger da direkte kontinuitetsligningen ∂_νJ^ν = 0  da Faraday-tensoren er antisymmetrisk og operatoren ∂_μ∂_ν  er symmetrisk i de to indeksene.

Eksterne lenker

• Suzanne Fielding, University of Durham, Lectures on fluid mechanics.