Åpne hovedmenyen

Komplekst tall

(Omdirigert fra Komplekse tall)

Et komplekst tall er tall på formen , der og er reelle tall og er den imaginære enheten, med egenskapen .

Mengden av komplekse tall skrives vanligvis eller . Denne mengden inneholder de reelle tallene som en delmengde, og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utvidelse av begrepet reelle tall.

Et komplekst tall er definert ved en realdel og en imaginærdel . Hvis sies tallet å være rent imaginært.

Mange assosierer komplekse tall med løsningen av andregradsligninger, som for eksempel ligningen . Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange deler av matematisk analyse og i anvendt matematikk. Studiet av komplekse funksjoner, det vil si funksjoner der definisjonsmengden og/eller verdimengden ligger i , kalles kompleks analyse.

Matematikk bruker en mer formell innføring av komplekse tall, basert på definisjon av operasjonene addisjon og multiplikasjon for komplekse tall.

Formell definisjon av komplekse tallRediger

Formelt er et komplekst tall   innført som et ordnet par av reelle tall  , definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon:

 

Mengden av komplekse tall utgjør en kropp.

Reelle tall er en delmengde av de komplekse tallene, og et reelt tall kan skrives  . Addisjon og multiplikasjon, slik de opptrer i definisjonen av komplekse tall, reduserer seg til de velkjente operasjonene for reelle tall. Ordningsrelasjoner i   lar seg imidlertid ikke generalisere til  , slik at   har mening bare for reelle verdier av   og  .

Den imaginære enheten   er definert ved  , og fra definisjonen av multiplikasjonsoperasjonen følger det at  .

Grunnleggende definisjoner og egenskaperRediger

Additiv og mulitplikativ inversRediger

Til ethvert komplekst tall   eksisterer det en additiv invers   slik at  . Den additive inversen er brukt til å definere subtraksjon.

Til ethvert komplekst tall z = a + ib ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers  , slik at  :

 

AbsoluttverdiRediger

Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall   er definert ved

 

For denne gjelder trekantulikheten:

 

Kompleks konjungertRediger

Den kompleks konjungerte til et komplekst tall   er definert ved

 

Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at

 

Geometrisk tolkning av komplekse tallRediger

 
Argand-diagram for det komplekse tallet  .

Ethvert komplekst tall   kan representeres ved et punkt i et kartesisk koordinatsystem, som vist i figurene. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den relle aksen og den imaginære aksen.

Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den dansk-norske matematikeren Caspar Wessel, men fremstillingsmåten kalles idag et Argand-diagram, etter den sveitsiske matematikeren Jean Robert Argand. Alternativt brukes også navnet et gaussisk plan eller et komplekst plan.

Siden den kompleks konjungerte til tallet   er definert ved   representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet.

Rotasjonsvinkelen   som vektoren   danner med den reelle aksen kalles argumentet til det komplekse tallet, og fra figuren følger de trigonometriske relasjonene

 

PolarformRediger

For et gitt kompleks tall   definerer absoluttverdien   og argumentet   et sett av polarkoordinater, og   kan skrives på trigonometrisk form som

 

Alternativt kan man bruke en eksponential form

 

basert på Eulers formel for sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner:

 

Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder. For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at

 .

Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet  , tolkes som en forlenging med faktoren  , samt en rotasjon med vinkelen  .

For divisjon av to komplekse tall gjelder

 .

LitteraturRediger

Eksterne lenkerRediger