Komplekst tall

tall som består av en reell del og en imaginær del
(Omdirigert fra Komplekse tall)

Et komplekst tall er tall på formen der og er reelle tall og er den imaginære enheten med egenskapen .

Et komplekst tall fremstilt som en vektor i det komplekse planet.

Mengden av komplekse tall skrives vanligvis C eller . Denne mengden inneholder de reelle tallene R (eller ) som en delmengde, og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utvidelse av begrepet reelle tall.

Et komplekst tall er definert ved en realdel og en imaginærdel . Hvis , sies tallet å være «rent imaginært».

Mange assosierer komplekse tall med løsningen av andregradsligninger, som for eksempel ligningen . Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange deler av matematisk analyse og i anvendt matematikk. Studiet av komplekse funksjoner, det vil si funksjoner der definisjonsmengden og/eller verdimengden ligger i C, kalles kompleks analyse.

Matematikk bruker en mer formell innføring av komplekse tall, basert på definisjon av operasjonene addisjon og multiplikasjon for komplekse tall.

Formell definisjon av komplekse tallRediger

Formelt er et komplekst tall   innført som et ordnet par av reelle tall  , definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon:

 

Mengden av komplekse tall utgjør en kropp.

Reelle tall er en delmengde av de komplekse tallene, og et reelt tall kan skrives  . Addisjon og multiplikasjon, slik de opptrer i definisjonen av komplekse tall, reduserer seg til de velkjente operasjonene for reelle tall. Ordningsrelasjoner i   lar seg imidlertid ikke generalisere til   slik at   har mening bare for reelle verdier av   og  .

Den imaginære enheten   er definert ved  . Fra definisjonen av multiplikasjonsoperasjonen følger det at  .

Grunnleggende definisjoner og egenskaperRediger

Additiv og mulitplikativ inversRediger

Til ethvert komplekst tall   eksisterer det en additiv invers   slik at  . Den additive inversen er brukt til å definere subtraksjon.

Til ethvert komplekst tall   ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers  , slik at  :

 

AbsoluttverdiRediger

Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall   er definert ved

 

For denne gjelder trekantulikheten:

 

Kompleks konjungertRediger

Den kompleks konjungerte til et komplekst tall   er definert ved

 

Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at

 

Geometrisk tolkningRediger

 
Det komplekse tallet   vist i det komplekse planet.

Ethvert komplekst tall   kan representeres ved et punkt i et todimensjonalt, kartesisk koordinatsystem, som vist i figuren. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den reelle og den imaginære aksen.

Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den norske matematikeren Caspar Wessel, men fremstillingsmåten kalles likevel ofte for et «Argand-diagram» etter den sveitsiske matematikeren Jean Robert Argand. Alternativt brukes også navnet et «gaussisk plan» etter Carl Friedrich Gauss eller ganske enkelt det komplekse planet.

Siden den kompleks konjungerte til tallet   er definert ved   representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet.

Rotasjonsvinkelen   som vektoren   danner med den reelle aksen kalles argumentet til det komplekse tallet, og fra figuren følger de trigonometriske relasjonene

 

PolarformRediger

For et gitt kompleks tall   definerer absoluttverdien   og argumentet   et sett av polarkoordinater, og   kan skrives på trigonometrisk form som

 

Alternativt kan man bruke en eksponential form

 

basert på Eulers formel for sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner,

 

Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder. For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at

 

Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet  , tolkes som en forlenging med faktoren  , samt en rotasjon med vinkelen  .

For divisjon av to komplekse tall gjelder

 

Komplekse vektorromRediger

Et vektorrom, som er lukket under operasjonene

 
 

der   er vektorer og   en skalar. Et vektorrom sies å være komplekst dersom man lar de være komplekse tall.[1]

Rommet  Rediger

Vektorrommet   består av alle ordnede n-tupler av komplekse tall. Hver vektor kan skrives på formen

 

der   er komplekse tall.[2] Prikkproduktet (det vanlige indreproduktet) i dette rommet er gitt ved

 

som igjen generelt også er et komplekst tall. Dersom vektorene består av komponenter der imaginær-delen er lik 0 overalt, slik at de også ligger i  , er de to prikkproduktene sammenfallende. Videre har prikkproduktet alle de samme egenskapene som definert for prikkproduktet i  , men i tillegg holder også at

 

hvilket man kan vise direkte ved regning.[3]   sammen med det tilordnede indreproduktet danner et indreproduktrom.

Se ogsåRediger

ReferanserRediger

LitteraturRediger

Eksterne lenkerRediger