Elektromagnetisk enhetssystem

Elektromagnetisk enhetssystem består av målenheter definert spesielt for magnetiske krefter og fenomen. De blir også kalt for emu-enheter etter den engelske betegnelsen electromagnetic units. Det er basert på CGS-systemet som benytter centimeter (cm) for lengder, gram (g) for masser og sekund (s) for tid. Styrken av magnetfelt blir uttrykt i den sammensatte enheten gauss (G) som tilsvarer tesla (T) i SI-systemet.

Dette enhetssystemet ble utviklet av den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss på 1830-tallet i forbindelse med hans kartlegging av det jordmagnetiske feltet. Frem til da hadde det vært vanlig å angi dets styrke relativt til feltet ved Ekvator. Men Gauss viste at det kunne også uttrykkes ved de vanlige, mekaniske enhetene for lengde, masse og tid. Dette var en absolutt bestemmelse av feltstyrken, noe som dermed ble årsaken for at dette omtales som et målesystem med absolutte enheter.^[1]

Da dette enhetssystemet var basert på egenskapene til magnetiske krefter, ble det etterhvert omtalt som et elektromagnetisk enhetssystem. Noen år senere kunne Gauss' kollega Wilhelm Eduard Weber utvikle et tilsvarende system basert på elektriske krefter beskrevet ved Coulombs lov for elektriske ladninger i ro. Det har derfor navnet elektrostatisk enhetssystem og fikk gradvis større betydning. Fordelene ved begge systemene ble på slutten av 1800-tallet kombinert i det som nå kalles gaussiske enheter. Mens Gauss og Weber benyttet millimeter (mm), milligram (mg) og sekund som fundamentale enheter, er disse i dag byttet ut med de tilsvarende enhetene i CGS-systemet.^[2]

Definisjon rediger

På Gauss sin tid var det kjent at magnetfelt kan skapes av elektriske strømmer, men man visste ikke hva en slik strøm består av. En mulig forklaring av magnetiske krefter var basert på antagelsen at de skyldes magnetiske ladninger som tiltrekker og frastøter hverandre på samme måte som om de hadde vært elektriske. En magnetisk dipol bestående av en positiv og negativ ladning, kunne da likså godt beskrives som en liten strømsløyfe. På den måten var det også mulig å forklare magnetiske krefter som vekselvirkning mellom elektriske strømmer.^[3]

Denne beskrivelsen var tidligere utforsket av André-Marie Ampère og kan sammenfattes i hans kraftlov. Den sier at mellom to parallelle strømmer I og I' virker en magnetisk kraft per lengdeenhet som er

F'=k_{m}{2II' \over r}

Her er r deres gjensidige avstand og

k_{m}={\mu _{0} \over 4\pi }=10^{-7}{{\mbox{N}} \over {\mbox{A}}^{2}}

er gitt ved den magnetiske konstanten μ₀ i SI-systemet som benyttes vanligvis i dag. Gauss valgte å sette denne konstanten k_m = 1. På den måten innføres en måleenhet absolutt ampere (abA) for elektrisk strøm. I CGS-systemet kan den defineres ved å sette F' = 2 dyn/cm når r = 1 cm og begge ledningene har denne strømstyrken. Det betyr at

1\,{\text{abA}}=1\,{\text{dyn}}^{1/2}=1\,{\text{g}}^{1/2}\,{\text{cm}}^{1/2}\,{\text{s}}^{-1}

Ved å beregne i SI-systemet hvor store de tilsvarende strømmene måtte være for å produsere den samme kraften 1 dyn = 10^-5 N, finner man sammenhengen

1\,{\text{abA}}\leftrightarrow 10\,{\text{A}}

mellom enhetene for elektrisk strøm i de to målesystemene.

En slik strøm er transport av elektrisk ladning og måles i coulomb (C) i SI-systemet. Da tidsenheten er den samme i de to systemene, vil man derfor kunne definere en ny ladningsenhet absolutt coulomb (abC) i det elektromagnetiske systemet med en størrelse som tilsvarer $1\,{\text{abC}}\leftrightarrow 10\,{\text{C}}$ i SI-systemet.^[4].

Elektrisk potensial og felt rediger

Potensiell energi U til en elektrisk ladning Q i et elektrisk potensial V er definert som U = QV. Potensial blir målt i volt (V) i SI-systemet hvor denne enheten er definert ved

1\,{\mbox{J}}=1\,\times 10^{7}{\mbox{erg}}=1\,{\mbox{C}}\cdot 1\,{\mbox{V}}

I det elektromagnetiske systemet hvor ladninger måles i enheter av abC, kan nå en tilsvarende enhet abV for absolutte volt defineres som

1\,{\mbox{erg}}=1\,{\mbox{abC}}\cdot 1\,{\mbox{abV}}

Uttrykt ved de fundamentale CGS-enhetene er $1\,{\mbox{abC}}=1\,{\mbox{g}}^{1/2}\,{\mbox{cm}}^{1/2}$ slik at

1\,{\mbox{abV}}=1\,{\mbox{g}}^{1/2}\,{\mbox{cm}}^{3/2}\,{\mbox{s}}^{-2}=1\,{\mbox{dyn}}^{1/2}\,{\mbox{cm}}/{\mbox{s}}

Fra sammenhengen mellom emu-enheten abC og SI-enheten C for elektrisk ladning, har man derfor korrespondansen

1\,{\mbox{abV}}\leftrightarrow 1\,\times 10^{-8}{\mbox{V}}

For praktisk bruk er dette opplagt en lite egnet enhet.

Kraften F på en ladning Q i et elektrisk felt E er F = QE. Dimensjonen til et slikt felt må derfor være

[E]={\mbox{dyn}}^{1/2}/{\mbox{s}}={\mbox{abV}}/{\mbox{cm}}

Det er konsistent med at det elektriske feltet er gitt ved gradienten til det elektriske potensialet.^[5]

Elektrisk motstand og kapasitet rediger

Sammenhengen mellom strømmen I som en spenningsforskjell V skaper i en elektrisk leder, er gitt ved Ohms lov V = RI når lederen har elektrisk motstand R. I det elektromagnetiske systemet kan man derfor definere måleenheten for denne størrelsen som en absolutt ohm (abΩ) hvor

1\,{\mbox{ab}}\Omega =1\,{\mbox{abV}}/1\,{\mbox{abA}}=1\,{\mbox{cm}}/{\mbox{s}}

Den har derfor samme dimensjon som en hastighet. Når man benytter de tilsvarende SI-verdiene, finner man at $1\,{\mbox{ab}}\Omega \leftrightarrow 1\,\times 10^{-9}\,\Omega$

På samme måte er kapasitansen C til en kondensator definert ved den ladning Q = CV som den inneholder, når den er utsatt for en spenningsforskjell V. Enheten absolutt farad (abF) for kapasitans er derfor

1\,{\mbox{abF}}=1\,{\mbox{abC}}/1\,{\mbox{abV}}=1\,{\mbox{s}}^{2}/{\mbox{cm}}

og har samme dimensjon som en invers akselerasjon. Den tilsvarer 10⁹ F i SI-systemet.

Magnetiske felt rediger

Når man betrakter en rettlinjet strømleder som befinner seg i et konstant magnetfelt B, er denne utsatt for en kraft per lengdeenhet F' . Hvis den fører strømmen I, kan denne kraften skrives som F' = IB når lederen overalt står vinkelrett på feltet. Dette er en konsekvens av den mer generelle Lorentz-kraften

\mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B}

som virker på en elektrisk ladning q med hastighet v som beveger seg i et generelt magnetfelt B. Herav følger at det har dimensjon [B] = dyn/cm⋅abA og kan derfor angis i enheter av gauss (G) definert som

1\,{\mbox{G}}=1\,{\mbox{dyn}}^{1/2}/{\mbox{cm}}=1\,{\text{g}}^{1/2}\,{\text{cm}}^{-1/2}\,{\text{s}}^{-1}

Den tilsvarer enheten tesla (T) i SI-systemet er definert som 1 T = 1 N/A⋅m. Da 1 N = 10⁵ dyn og 1 A ↔ 0.1 abA, vil

1\,{\mbox{T}}\leftrightarrow 10^{4}\,{\mbox{G}}

Jordens magnetfelt er typisk svakere enn 1 gauss, og denne enheten brukes fremdeles i mange lignende sammenhenger.

Magnetisk fluks rediger

Magnetfeltet B kalles også for det «magnetiske fluksfeltet» da det inngår i definisjonen av magnetisk fluks Φ gjennom en avgrenset flate. Den har derfor dimensjon gauss⋅cm² og måles i enheter av maxwell (Mx) hvor

1\,{\mbox{Mx}}=1\,{\mbox{G}}\cdot {\mbox{cm}}^{2}=1\,{\text{g}}^{1/2}\,{\text{cm}}^{3/2}\,{\text{s}}^{-1}

Den tilsvarende enheten i SI-systemet er weber (Wb) som tilsvarer 10⁸ Mx. Enheten maxwell brukes i praksis ikke lenger.^[5]

Når den magnetiske fluksen Φ varierer med tiden, vil den ifølge Faradays induksjonslov produsere en elektromotorisk spenning

{\mathcal {E}}=-{{\mathrm {d} \Phi } \over \mathrm {d} t}

i en elektrisk leder som omslutter flaten. Denne induserte spenningen vil herav få samme dimensjon abV som det elektriske potensialet fra en ladning.

I en lukket strømkrets med en variabel strøm I vil det oppstå et magnetfelt som virker tilbake på kretsen. Dette er selvinduksjon og betyr at fluksen gjennom kretsen er proporsjonal med strømmen. Matematisk uttrykkes denne sammenhengen som Φ = LI hvor konstanten L er induktansen til kretsen. Den måles i enheten henry (H) i SI-systemet hvor 1 H = 1 N⋅m/A². I dette emu-systemet vil den derimot kunne angis i enheter av absolutte henry (abH) hvor

1\,{\mbox{abH}}=1\,{\mbox{Mx}}/1\,{\mbox{abA}}=1\,{\mbox{cm}}

har samme dimensjon som en lengde. Den tilsvarer 10^-9 H som sees fra de ekvivalente verdiene til Mx og abA.

Magnetisk H-felt rediger

Hvordan elektriske strømmer kan skape magnetfelt, ble først påvist av Hans Christian Ørsted i 1820. En kvalitativ formulering av denne oppdagelsen er Ørsteds lov som gir retningen til det skapte feltet. Selve styrken av magnetfeltet ble noen få år senere formulert som Ampères sirkulasjonslov. Det er vanlig å betegne dette feltet med bokstaven H selv om det er identisk med fluksfeltet B i det tomme rom.

I en avstand r utenfor en rett leder som fører strømmen I, er dette magnetfeltet

H={2I \over r}

i det elektromagnetiske systemet. Feltet blir målt i enheter av oersted (Oe) som derfor kan defineres som

1\,{\mbox{oersted}}=1\,{\mbox{abA}}/1\,{\mbox{cm}}=1\,{\mbox{dyn}}^{1/2}/{\mbox{cm}}

Denne enheten er derfor sammenfallende med enheten gauss (G) for B-feltet.

Med bruk av SI-enheter har H-feltet dimensjon A/m. For å finne sammenhengen mellom den enheten og oersted, kan man igjen betrakte kraft per lengdeenhet på en strømførende leder i et konstant magnetfelt. Når denne skrives som F' = IB = IH i det elektromagnetiske systemet med k_m = 1, er den F' = IB = μ₀IH i SI-systemet hvor den magnetiske konstanten har en verdi som gir

k_{m}={\mu _{0} \over 4\pi }=10^{-7}{{\mbox{N}} \over {\mbox{A}}^{2}}

med stor nøyaktighet. Siden denne kraften skal være den samme uavhengig av målesystem, må man derfor ha korrespondansen

1\,{\mbox{oersted}}\leftrightarrow {10^{3} \over 4\pi }{\mbox{A}}/{\mbox{m}}

hvor den numeriske faktoren på høyre side er tilnærmet 79.6.

Maxwells ligninger rediger

Det elektromagnetiske enhetssystemet er definert ved at k_m = 1 slik at den den elektriske konstanten har verdien k_e = c². Coulombs lov for kraften mellom to ladninger Q og Q' er derfor i dette målesystemet

F=c^{2}{QQ' \over r^{2}}

når r er avstanden mellom ladningene. Siden kraften også kan uttrykkes ved det elektriske feltet E fra en av ladningene, kan dette bestemmes fra Gauss' lov som derfor tar formen

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} =4\pi c^{2}\rho

der ρ er en ladningstetthet. Dette omtales også som Maxwells første ligning som nå inneholder en faktor $4\pi$ . Denne inngår ikke i Faradays induksjonslov som er

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

Enhetene på begge sider av ligningen er her de samme. Den tredje Maxwell-ligningen er ganske enkelt ∇⋅B = 0 som sier at det magnetiske fluksfeltet B ikke har noen kilder og derfor alltid danner feltlinjer som er lukkete kurver.^[5]

Den siste Maxwell-ligningen er generaliseringen av Ampères sirkulasjonslov som blir

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =4\pi \mathbf {J} +{1 \over c^{2}}{\partial \mathbf {E}  \over \partial t}

hvor J er en generell strømtetthet. Siste ledd på høyre side representerer Maxwells forskyvningsstrøm hvor 1/c² opptrer istedenfor permittiviteten ε₀. Det er i overensstemmelse med hvordan denne konstanten opptrer i Gauss' lov.^[4]

Elektromagnetisme i materialer rediger

Et fast materiale eller kontinuerlig medium består av atomer og molekyler. Disse består av ladete partikler som kan gi opphav til elektrisk polarisasjon P eller magnetisering M som vil påvirke de elektromagnetiske feltene E og B i materialet. Maxwells ligninger kan beskrive disse mer kompliserte forholdene når man innfører det elektriske forskyvningsfeltet D og skiller mer klart mellom de magnetiske feltene H og B.

Sammenhengen mellom disse fire feltene i det elektromagnetiske enhetssystemet kan etableres på samme måte som i SI-systemet. De er

{\begin{aligned}\mathbf {D} &={1 \over c^{2}}\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} \\\mathbf {B} &=\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M} \end{aligned}}

I det tomme rom er dette i overensstemmelse med at D = E/c² og B = H som er karakteristisk for dette systemet.^[4]

Både polarisasjonen P og magnetiseringen M vil bidra til å forandre ladningstettheten og strømtettheten i Maxwell-ligningene fra de verdiene ρ og J som måtte finnes uten materiale. Det medfører at de tar den nye formen

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =4\pi \rho ,\;\;\;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0,\;\;\;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

hvor lyshastigheten ikke lenger eksplisitt opptrer. Bortsett fra de to faktorene med 4π, har de samme form som i SI-systemet.

Referanser rediger

^ C.F. Gauss, Die Intensität der erdmagnetlschen Kraft zurückgeführt auf absolutes Maass, Annalen der Physik und Chemie, 28, 241 - 273 (1833).
^ A.K.T. Assis et al, Gauss and Weber's Creation of the Absolute System of Units in Physics, 21st Century Science and Technology, 15(3), 40 - 48 (2002).
^ O. Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford University Press, Oxford (2003). ISBN 0-19-850593-0.
^ ^a ^b ^c J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.
^ ^a ^b ^c D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.

Eksterne lenker rediger

N.J. Carron, Babel of units, arxiv-1506.01951
A. Trabesinger, Magnetic disunity, Nature Physics 13, 716 (2017)

[Gauss-1] C.F. Gauss, Die Intensität der erdmagnetlschen Kraft zurückgeführt auf absolutes Maass, Annalen der Physik und Chemie, 28, 241 - 273 (1833).

[Assis-2] A.K.T. Assis et al, Gauss and Weber's Creation of the Absolute System of Units in Physics, 21st Century Science and Technology, 15(3), 40 - 48 (2002).

[Darrigol-3] O. Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford University Press, Oxford (2003). ISBN 0-19-850593-0.

[Jackson-4] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.

[Griffiths-5] D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]