Differensial (matematikk)

Differensial benyttes i matematikken til å beskrive variasjon av en kontinuerlig funksjon som skyldes en liten forandring i dens argument. Det er derfor direkte forbundet med den deriverte av funksjonen og betegnes med bokstaven d som kan føres tilbake til Gottfried Leibniz. Regning med differensialer omtales som differensialregning og kan betraktes som en del av matematisk analyse.

Differensialet dy til funksjonen y = f(x ) sier hvor mye tangentlinjen i punktet x øker over en liten forandring Δx.

For en funksjon y = f(x ) av en variabel x defineres dens differensial som

$dy=f'(x)dx$

Alternativt kan det også skrives som df  slik at df(x) er dets verdi i punktet x. Her er dx differensialet av den trivielle funksjonen y = x. Den deriverte f'  av funksjonen for argumentsverdien x kan derfor skrives som

${dy \over dx}=f'(x)$

og kalles ofte for en differensialkoeffisient. I dette og lignende uttrykk betraktes differensialene som vanlige størrelser av samme natur som x og y selv om de historisk forbindes med å være uendelige små eller infinitesemale. Regning med differensialer kalles derfor noen ganger fremdeles for infinitesimalregning.

Fra definisjonen følger at differensialet av forskjellige funksjoner kan finnes fra kjennskap til deres deriverte. Et enkelt eksempel er funksjonen f(x) = x³ som på den måten har differensialet df = 3x² dx. Av samme grunnen kan differensialet av sammensatte funksjoner finnes fra produktregelen for derivasjon som medfører at differensialet til produktet av to funksjoner f og g er gitt ved

$d(fg)=(df)g+f(dg)$

Denne loven bærer vanligvis navnet til Leibniz som sammen med Isaac Newton regnes som oppfinnerne av differensialregningen.

I fysikk og annen naturvitenskap brukes ofte betegnelsen dx for en liten variasjon Δx eller δx av en variabel x. Dette kan være en noe forvirrende notasjon og er bare indirekte forbundet med et matematisk differensial i moderne forstand.

Definisjon

Forandringen Δy av funksjonsverdien i to nærliggende punkt er forskjellig fra differensialet dy. Dette er gitt ved stigningstallet til tangenten.

Betrakter man en kontinuerlig funksjon y = f(x ), vil den kunne fremstilles som en glatt kurve i xy-planet. I et bestemt verdi av x₀ av argumentet vil den ha en verdi y₀ = f(x₀) som tilsvarer et punkt (x₀, y₀) på kurven. Den vil ha et stigningstall som er gitt ved den deriverte f' (x₀) av funksjonen i dette punktet.

I et nærliggende punkt x + Δx hvor økningen Δx er tilstrekkelig liten, har funksjonsverdien forandret seg med

$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$,

mens tangenten gjennom (x₀, y₀) har økt med

$dy=f'(x_{0})\Delta x$

Denne økningen kalles for differensialet av funksjonen. I det spesielle tilfellet at funksjonen er gitt som y = x, vil da dx = Δx slik at man i det generelle tilfellet kan skrive at differensialet dy = f' (x)dx i et vilkårlig punkt.

Denne direkte sammenhengen mellom differensialet til funksjon og dens deriverte, gjør det mulig å beregne differensialet av en funksjon F som avhenger av flere variable. Når det er n av disse og de betegnes med (x¹,x², .. ,xⁿ ), vil differensialet være

$dF(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})={\partial F \over \partial x^{1}}dx^{1}+{\partial F \over \partial x^{2}}dx^{2}+\cdots {\partial F \over \partial x^{n}}dx^{n}$

hvor ∂F/∂x^k er den partiellderiverte med hensyn på den variable x^k. Det betegnes noen ganger som det totale differensialet av funksjonen.

Som et eksempel kan man betrakte funksjonen z = x³y + 3xy². Da blir

${\begin{aligned}dz&=d(x^{3}y)+d(3xy^{2})=3x^{2}ydx+x^{3}dy+3y^{2}dx+6xydy\\&=3y(x^{2}+y)dx+x(x^{2}+6y)dy\end{aligned}}$

Beregning av differensialet av slike funksjoner tilsvarer utregning av gradienten til funksjonen slik som den benyttes i vektoranalysen.

Historisk utvikling

Første side av Leibniz' verk Nova Methodus pro Maximis et Minimis hvor differensialer ble omtalt i 1684

Både integralregning og differensialregning var opprinnelig basert på å betrakte små størrelser som skulle adderes eller subtraheres i grensen der de ble forsvinnende små. Denne fremgangsmåten kan føres helt tilbake til gresk matematikk og spesielt arbeidene til Arkimedes.

Med fremveksten av analytisk geometri på 1600-tallet ble den nærme sammenhengen mellom stigningstallet til en funksjon i et punkt og retningen av tangenten til kurven som funksjonen fremstiller i samme punkt, klarlagt. Denne er gitt ved en sekant som går gjennom to nærliggende punkt på kurven i grensen der separasjonen mellom punktene forsvinner. For en funksjon y = f(x ) vil man dermed ha et tilnærmet uttrykk

$k={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}$

for stigningstallet når størrelsen Δx  blir forsvinnende liten. Denne fremgangsmåten ble først benyttet av Fermat i Frankrike og omtrent samtidig av Barrow i England. Mer systematisk ble denne tenkemåten videreutviklet av hans elev Newton og av Leibniz i Tyskland som dermed la grunnlaget for moderne, matematisk analyse. Stigningstallet som på dette viset kunne beregnes, er i dag den deriverte av funksjonen.

Selv om denne nye metoden viste seg å gi overbevisende resultat, ble den også mye kritisert. Hovedgrunnen var at det ønskede resultat først kom frem når størrelsen Δx  → 0 der også forandringen Δy  → 0. I denne grensen kalte Leibniz de infinitesemale størrelsene for dx og dy slik at den deriverte kan skrives som

$k=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta y \over \Delta x}={dy \over dx}$

Dette ser ut som det ubestemte uttrykket ${0 \over 0}$ og kan derfor ikke ha noen veldefinert verdi. Men da likevel metoden ga meningsfulle resultat, måtte likevel disse størrelsene tillegges betydning. Av den grunn ble differensialene dx og dy noen ganger omtalt som «gjenferd av forsvunne størrelser» og måtte gis et klarere innhold. Denne usikkerheten ble først fjernet på begynnelsen av 1800-tallet da grundigere behandling av matematiske grenseverdier ble gitt av Cauchy.

I nyere tid har differensialet df av en funksjon fått en utvidet betydning som en differensialform df. Denne kan betraktes som en ny funksjon som i hvert punkt også kan ta en vektor v som argument. På den måten vil den gi den retningsderiverte av funksjonen som df(v). Bruk av slike differensialformer er nå utstrakt i moderne differensialgeometri og ble etablert av Élie Cartan på begynnelsen av 1900-tallet.