Sekant

En sekant er en rett linje som skjærer i gjennom en kurve i minst to punkt. Den delen av sekanten som ligger mellom to nabopunkt, er en korde. I figuren er linjen S sekanten, mens det rette linjestykket PQ er korden. Ordet sekant kommer av det latinske ordet secare som betyr å kutte eller skjære over.

Eksempel på en sekant S som skjærer gjennom en kurve K i to punkter P og Q.

Derivasjon

Når sekantens to skjæringspunkter nærmer seg hverandre, går sekanten over til å bli tangenten i x₀.

Sekanten kan anvendes til å finne tangenten til en kurve i et punkt. Når sekanten går gjennom de to punktene P og Q, så kommer sekanten til å nærme seg tangenten til kurven i punktet P når Q nærmer seg dette punktet langs kurven. Dette er illustrert i animasjonen til venstre.

Stigningstallet

En sekant (grønn) som skjærer gjennom funksjonen y = f(x) (blå) i to punkt.

Hellningen til sekanten er dens stigningstall. Dette kan beregnes når kurven er definert ved en funksjon y = f(x) i et kartesisk koordinatsystem. Har punktet P koordinatene (x, f(x)) og punktet Q koordinatene (x + h, f(x + h)), blir stigningstallet for sekanten gjennom disse to punktene

$k={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

I grensen hvor h → 0, vil sekanten nærme seg tangenten i punktet (x, f(x)) slik at dette stigningstallet blir lik den deriverte av funksjonen y = f(x) i dette punktet. Både i analytiske og numeriske arbeider blir denne metoden benyttet til å utføre derivasjoner.

Sirkelsekanter

To sekanter skjærer hverandre innenfor en sirkel.

To sekanter skjærer hverandre utenfor en sirkel.

For en sirkel vil en sekant gi maksimalt to skjæringspunkt. Faller de sammen, går sekanten over til å bli en tangent. Den tilsvarende korden har størst lengde når sekanten går gjennom sirkelens sentrum. Korden er da en diameter i sirkelen.

To sekanter kan skjære en sirkel i maksimalt fire punkter. Disse bestemmer vinkelen ψ  mellom de to sekantene. Ligger skjæringspunktet S inni sirkelen, er skjæringsvinkelen

$\psi ={1 \over 2}{\big (}\theta _{1}+\theta _{2}{\big )}$

hvor vinklene θ₁  og θ₂  er de to sirkelbuene som ligger mellom sekantene. Dette sees ved å trekke korden BC i figuren til høyre. Vinkel DBC er da en periferivinkel. Den har derfor en størrelse som er lik halvparten av sirkelbuen DC, det vil si θ₂/2 . På samme måte er periferivinklen BCA lik halvparten av sirkelbuen AB, det vil si θ₁/2 . Da nå skjæringsvinklen ψ  er en utvendig vinkel i trekanten SBC, vil den være lik summen av periferivinklene DBC og BCA. Herav følger resultatet.

Hvis derimot skjæringspunktet S mellom sekantene ligger utenfor sirkelen som i den nederste figuren, vil skjæringsvinkelen ψ  mellom dem være gitt som

$\psi ={1 \over 2}{\big (}\theta _{1}-\theta _{2}{\big )}$

Dette kan vises ved å trekke korden BD. Da er periferivinkelen BDA en utvendig vinkel i trekanten SBD og derfor lik skjæringsvinkelen pluss periferivinkelen DBS. Uttrykt ved gradtallene til vinklene, betyr det at θ₂/2 + ψ = θ₁/2 som er resultatet.

Potensen til skjæringspunktet

Mens sirkelbuene mellom sekantenes skjæringspunkt med sirkelen bestemmer vinkelen mellom dem, er produktet av de to linjestykkestykkene mellom S og hvert av de to skjæringspunktene det samme for alle sekanter gjennom S som skjærer sirkelen. Hvis S ligger innenfor sirkelen, er for eksempel SA⋅SC = SB⋅SD og med samme verdi for alle andre sekanter gjennom S. Når dette punktet ligger utenfor sirkelen, er på tilsvarende måte SA⋅SD = SB⋅SC. Man kan forklare dette ved å benytte egenskapene til periferivinkelene og de trekantene hvor de inngår.

Dette konstante produktet kalles potensen til punktet S og var kjent allerede på Euklids tid. På 1800-tallet ble det utdypet nærmere av den sveitsiske matematiker Jakob Steiner.

Elliptiske kurver

En sekant (rød) gjennom en elliptisk kurve (blå) kan ha maksimalt tre skjæringspunkt som P, Q og R i venstre figur.

En sekant som skjærer gjennom en elliptisk kurve, vil ha maksimalt tre skjæringspunkt. Det skyldes at den er beskrevet ved en ligning av formen y² = P(x) hvor polynomet P(x)  er av tredje grad. For noen sekanter kan det også bare opptre to skjæringspunkt, for eksempel når den er tangerer kurven i et punkt.

Elliptiske kurver er viktig i tallteori og har i de senere årene fått stor, praktisk betydning i forbindelse med kryptering. Det er mulig da punktene på kurven kan adderes på en slik måte at det vil være umulig å finne ut av for en utenforstående. En sekant vil i alminnelighet ha tre skjæringspunktet P, Q og R med kurven. Summen P + Q kan nå defineres ut fra kjennskap til det tredje tallet R. Denne addisjonsloven betyr at P + Q = Q + P slik at resultatet er uavhengig av rekkefølgen til de to tallene. Den definerer derfor en abelsk gruppe med et identitetselement som tilsvarer punktet i det uendelig fjerne. Disse beregningene kan utføres i datamaskiner som benyttes i moderne datanettverk.

Litteratur

• A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, vol II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
• A. Ash and R. Gross, Elliptic Tales, Princeton University Press, New Jersey (2012). ISBN 978-0-691-15119-9.