Utfyllingsmetode

Utfyllingsmetode eller ekshausjonsmetode kalles en fremgangsmåte for beregning av areal eller volum av geometriske figurer eller objekt. Metoden består i å dekke denne med stadig mindre, men kjente polygoner eller polyeder. I grensen hvor disse blir uendelig små og dermed utfyller hele figuren, oppstår verdien for det søkte areal eller volum. Denne fremgangsmåten er en forløper til moderne integralregning hvor slike geometriske størrelser kan beregnes ved Riemann-summasjon.^[1]

Metoden ble gitt et matematisk grunnlag av Eudoksos fra Knidos, men kan føres tilbake til Antifon noen tiår senere. Eudoksos benyttet den til å vise at volumet av en kjegle eller pyramide er 1/3 av volumet til en sylinder eller prisme med den samme grunnflate og høyde.^[2]

Det er gjennom arbeidene til Arkimedes at metoden er blitt kjent. Han gjorde utstrakt bruk av den i flere forskjellige sammenhenger. For eksempel kunne han vise at et segment av en parabel har et areal som er 4/3 av arealet til en trekant med samme grunnlinje og høyde. På hans gravstein sies det at det ble vist en figur av en sylinder som omskriver en kule sammen med tallet 3/2. Dette er forholdet mellom volumene til de to objektene samtidig som det også er forholdet mellom arealene til deres overflater.^[2]

Kanskje det mest berømte resultat av utfyllingsmetoden er Arkimedes' beregning av arealet innenfor en sirkel, det vil si av tallet pi eller π . Det kom han frem til ved å innskrive denne figuren med en 96-siders mangekant. Han fant dermed en nedre grense for dette tallet. Ved samtidig å omskrive figuren med en slik mangekant, fant han en øvre grense. Med moderne notasjon kan resultatet skrives som

3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {10}{70}}

I middelalderen ble denne beregningen utvidet ved å benytte mangekanter med enda flere sider slik at man kunne komme den eksakte verdien 3,14159... så nær som man måtte ønske.^[3]

Referanser rediger

^ T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2006). ISBN 978-82-15-00977-3.
^ ^a ^b A. Holme, Matematikkens historie, Bind 1, Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.
^ C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

Eksterne lenker rediger

Britannica, Method of Exhaustion, på engelsk

[Lindstrøm-1] T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2006). ISBN 978-82-15-00977-3.

[Holme-2] A. Holme, Matematikkens historie, Bind 1, Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.

[Boyer-3] C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

[1]

[2]

[3]