Conicas2.PNG

En parabel er i matematikk en type kjeglesnitt, en plan kurve dannet som skjæringslinjen mellom et plan og en kjegleflate.[1] Andre typer kjeglesnitt er ellipser og hyperbler.

En parabel kan defineres geometrisk som en samling av punkt som ligger like langt fra et gitt punkt som fra en gitt rett linje. Analytisk kan en parabel beskrives ved hjelp av en andregradsligning i to variable. For at ligningen skal framstille en parabel må diskriminanten definert ved ligningskoeffisientene være lik null. I visse tilfeller kan parabelen degenerere til to rette linjer.

Geometrisk definisjonEdit

En parabel kan defineres som det geometriske sted for et punkt som ligger like langt fra et gitt punkt som fra en gitt rett linje. Punktet kalles for brennpunktet eller fokus, og linjen kalles styrelinje eller direktrise. Generelt er et kjeglesnitt det geometriske sted for et punkt der avstanden fra brennpunktet er proporsjonal med avstanden til styrelinjen, og proprosjonaliteteskonstanten kalles eksentrisiteten. En parabel er altså et kjeglesnitt med eksentrisitet lik 1.

Et plan som skjærer en rett kjegleflate med sirkulær basis vil framstille en parabel dersom toppvinkelen i kjeglen er lik vinkelen som planet danner med kjegleaksen. Eksempelvis vil en kjegle som har toppvinkel lik nitti grader danne en parabel dersom planet står normalt på en generatrise i kjegleflaten.

PolarformEdit

 
Terminologi knyttet til parabelen
 
Parametre for en parabel

Gitt en styrelinje og et brennpunkt F, og la avstanden mellom disse være  . For et vilkårlig punkt på parabelen P er avstanden til styrelinjen alltid lik avstanden til brennpunktet:

 

Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kalles aksen til parabelen. I polarkoordinater   med polen definert i brennpunktet og akse langs parabelaksen kan dette skrives som

 

Toppunktet til parabelen er punktet der  , det vil si i avstanden   fra brennpunktet. Korden mellom to punkt på parabelen, gjennom brennpunktet, kalles latus rectum, og lengden   av denne er

 

Halve korden kalles semi-latus rectum, med lengde  .

Standardform i kartesiske koordinaterEdit

En standardform for parabelen, også kalt en kanoniske formen, er en ligning for de kartesiske koordinatene   som framkommer når  -aksen defineres langs parabelaksen, </math>y</math>-aksen defineres parallelt med styrelinjen og origo velges i toppunktet for parabelen:[2]

 

Ligningen har én parameter, her  . Alternativt skrives ligningen ved hjelp av semi-latus rectum   eller med avstanden   mellom brennpunktet og toppunktet. Det er også mulig å legge parabelaksen langs  -yaksen, slik at   og   bytter plass i ligningen.

Standardformen kan utledes fra polarformen, ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:

 

Standardformen med origo i toppunktet kan skrives som en parameterframstilling på formen

 

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i brennpunktet:[2]

 

Generell kvadratisk formEdit

En generell kvadratisk form

 

vil framstillen en parabel dersom diskriminanten   er lik null:[3]

 

Ligningen kan overføres til standardformen ved hjelp av en koordinattransformasjon, en translasjon og en rotasjon.

Degenererte parablerEdit

En parabel med diskriminant lik null vil degenerere dersom determinanten til matriseformen er lik null.[2] Matriseformen er

 
 

Determinanten   til matrisen   er gitt ved

 

Tabellen under gir en oversikt over degenererte parabler, forutsatt at  .[2]

Kjeglesnitt
    To parallelle reelle linjer
  To parallelle sammenfallende linjer
  To parallelle imaginære linjer
    To parallelle reelle linjer
  To parallelle sammenfallende linjer
  To parallelle imaginære linjer

EgenskaperEdit

For en parabel på standardformen med sentrum i toppunktet er ligningen for tangenten i punktet   gitt ved

 

GeneraliseringerEdit

Ved å rotere en parabel rundt aksen framkommer en omdreiningsflate kalt en paraboloide. En slik flate brukes i mange innretninger der målet er å fokusere innkommende stråler, for eksempel en parabolantenne for radiokommunikasjon og en lyddusj for retningsstyrt lyd.

HistorieEdit

For en felles oversikt over historien til kjeglesnitt, se avsnittet om kjeglesnittenes historie.

Se ogsåEdit

ReferanserEdit

LitteraturEdit

  • J.Dennis Lawrence (1972). A Catalog of Special Plane Curves. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60288-2. 
  • George B. Thomas, Ross L. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7.