Åpne hovedmenyen

Laplacetransformasjon er en matematisk operasjon som overfører en funksjon fra tidsdomenet til frekvensdomenet. Laplace brukes ofte til analyse av forskjellige dynamiske systemer. Ved å bruke transformasjonen vil spesielt løsning av lineære, ordinære differensialligninger og dets relaterte initialverdiproblem – samt systemer av disse – kunne utføres lettere.

En ordinær differensialligning blir ofte forkortet som ODE (Ordinary Differential Equation), som brukt videre i denne artikkelen.


Innhold

DefinisjonRediger

Den ensidige laplacetransformasjonen er definert:

 

der   er variabelen man bruker i laplacedomenet og   er funksjonen som skal transformeres. Her er   en kompleks variabel:

 

Invers laplacetransformasjonRediger

Den inverse laplacetransformasjonen er definert ved følgende

 

Dette impliserer videre at

 

og

 

LinearitetRediger

Laplacetransformasjonen er en lineær operasjon; hvilket betyr at, for en hver funksjon   og   som har eksisterende transformasjoner, kan man dele opp transformasjonen slik:

 

VekstrestriksjonRediger

Per definisjon har en funksjon   en laplacetransformasjon hvis den ikke vokser for fort. Det er gitt en vekstrestriksjon for alle   på følgende måte:

 

der   og   er konstanter. Siden   er stykkevis kontinuerlig, vil også   være integrerbar over et hvert Intervall intervall på t-aksen. Fra forrige ligning, kan man da utlede bevis for eksistens:

 

Hvis en funksjon   er definert og stykkevis kontinuerlig på et hvert intervall der   og tilfredsstiller vekstrestriksjonen for alle   og konstantene   og   , vil laplacetransformasjonen   eksistere for alle  .

Transformasjoner av differensialkvotienter og integralerRediger

Laplacetransformasjon av første- og andreordens differensialkvotientRediger

Transformasjonen av første- og andreordens differensialkvotient av  , tilfredsstiller følgende:

  •  
  •  


Laplacetransformasjon av differensialkvotienter i alle ordenerRediger

Det kan bevises ved bruk av induksjon at hvis en stykkevis kontinuerlig funksjon   har   antall kontinuerlige deriverte for  , og den tilfredsstiller vekstrestriksjonen, vil transformasjonen av   tilfredsstille:

 

Laplacetransformasjon av integralerRediger

La   være den laplacetransformerte av funksjonen   som er stykkevis kontinuerlig for   og tilfredsstiller vekstrestriksjonen. Da, for  ,   ( i forhold til vekstrestriksjonen), og  , er

 

som også gir:

 

Laplace og ODE'erRediger

Prosess for løsing av lineære ODE'erRediger

Prosedyren for å løse disse ligningene ved bruk av Laplacetransformasjon består av tre steg:

  • Steg 1. Den oppgitte ODE transformeres til en algebraisk ligning, ved bruk av Laplacetransformasjon. Denne er ofte referert som en hjelpeligning.
  • Steg 2. Denne hjelpeligningen løses deretter ved bruk av vanlige algebraiske manipuleringer.
  • Steg 3. Løsningen i Steg 2 transformeres tilbake ved bruk av invers-laplacetransformasjon, som gir løsningen på den opprinnelige ODE.


Fordeler framfor vanlig framgangsmåteRediger

  • I. Problemene blir løst mer direkte: Initialverdiproblemer blir løst uten å først måtte bestemme en generell løsning. Inhomogene ODE'er blir løst uten å først måtte løse den korresponderende homogene ODE'en.
  • II. Mer viktig: bruken av Heavisides stegfunksjon og Diracs deltafunksjon gjør metoden særlig mektig for problemer med inndata som er usammenhengende eller representerer korte impulser eller kompliserte periodiske funksjoner.



Tabell over noen kjente laplacetransformasjonerRediger

Tidsdomene
 
Laplace s-domene
 
   
   
   
 
 
 
 
positiv  
 
   
   
   
   
   
   
   

Se ogsåRediger

ReferanserRediger

  • Kreyszig, Erwin (2011), Advanced Engineering Mathematics (10th utgave), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-64613-7 .
 Denne matematikkrelaterte artikkelen er foreløpig kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. (Se stilmanual)