Innen matematikk er Sobolev-rom et funksjonsrom som består av funksjoner som tilhører et -rom, og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som svake deriverte, også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av partielle differensialligninger er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men ikke i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for elementmetoden, som brukes for å finne numeriske løsninger av partielle differensialligninger.
Sobolev-rom tilordnes en norm definert som en sum av -normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et normert rom, og også komplett, hvilket gjør det til et Banach-rom. For , altså der funksjonene og deres deriverte er -funksjoner, er det også et indreproduktrom og dermed et Hilbert-rom. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren Sergei Sobolev.
La for , et ikke-negativt heltall og et tall slik at . Sobolev-rommet består av alle lokalt deriverbare funksjoner slik at for alle multiindekser slik at , eksisterer de (svake) deriverte og tilhører .[1]
Dersom definerer vi den tilhørende normen til å være[2]
der
for en vektor der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og .
Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom , der utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet , altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i utvidelsesteoremet, og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.
I flere tilfeller er det interessant å studere randen av , og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i (tillukningen av den åpne mengden ) har den allerede slike verdier; en generell kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.
Anta at , og at er begrenset og at randen er kontinuerlig (i ). Da finnes det en begrenset lineær operator
slik at
dersom
og
for alle , der C er en konstant avhengig av og . T kalles for sporet til på .[7]
Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av , og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i .
Her betegner mengden av alle funksjoner som er slik at det finnes en følge av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte ( for alle m) som konvergerer til med hensyn på normen .[9]
Sobolev-ulikhetene er en klasse ulikheter som beskriver hvordan relasjonen mellom n, p og k sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og -rom.
For kan man definere den Sobolev-konjugerte av p til å være[10]
hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom er slik at nesten overalt i , så er også nesten overalt i . Videre impliserer det også at for alle gjelder ulikheten
der C er en konstant (kun) avhengig av , , og .[13][14]