Hölder-rom

Et Hölder-rom er et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner som er Hölder-kontinuerlige i seg selv og sine deriverte. Formelt definerer man en norm over et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner, og definerer et Hölder-rom til å være mengden av alle funksjoner der denne normen er endelig. Hölder-rom brukes innen funksjonalanalyse for å studere partielle differensialligninger.

Definisjon

Hölder-norm

La $U\subset \mathbb {R} ^{n}$, og la $C^{k}(U)$ være alle begrensede og kontinuerlige funksjoner $u:U\to \mathbb {R}$. Definer en norm

$||u||_{C^{k}(U)}:=sup_{x\in U}|u(x)|$

og en seminorm

$[u]_{C^{0,\gamma }(U)}:=\sup \left\{\left.{\frac {|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{\gamma }}}\ \right|\ x,y\in U,x\neq y\right\}$.

Da kan man definere Hölder-normen med eksponent $\gamma$ til å være

$||u||_{C^{k,\gamma }(U)}=||u||_{C^{k}(U)}+[u]_{C^{0,\gamma }(U)}$.

Hölder-rom

Hölder-rommet $C^{k,\gamma }({\overline {U}})$ består av alle funksjoner $u:U\rightarrow \mathbb {R}$ slik at $u\in C^{k}({\overline {U}})$ og normen

$\|u\|_{C^{k,\gamma }({\overline {U}})}:=\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{C(U)}+\sum _{|\alpha |=k}[D^{\alpha }u]_{C^{0,\gamma }(U)}$

er endelig. Her angir $D^{\alpha }$ partiellderiverte av orden $\alpha$, og $\alpha$ en multiindeks $\mathbf {\alpha } =(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ der $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\leq k$ i første ledd, og $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k$ i andre ledd. Det første leddet tilsvarer at dette er funksjoner som er k ganger kontinuerlig deriverbare. Det andre leddet tilsier at disse k-deriverte er begrensede og Hölder-kontinuerlige med eksponent $\gamma$.

Egenskaper

• Funksjonsrommet $C^{k,\gamma }(U)$ er et Banach-rom.

Eksterne lenker

• Hölder space på Encyclopedia of Mathematics