Embedding

Innen matematikk er en embedding en funksjon som definerer en relasjon mellom en mengde X og en delmengde Y. Dersom en slik funksjon finnes, sier man at X er embeddet i Y. Embeddinger er isomorfier som bevarer visse egenskaper, avhengig av sammenhengen og hvilke matematiske strukturer X og Y representerer. Embeddinger brukes blant annet innen ordensteori, topologi, funksjonalanalyse og diskret matematikk.

I ordensteoriRediger

La X og Y være totalt ordnede mengder, for hvis addisjon og multiplikasjon er definert, og la Z være en delmengde av Y. En embedding av er en isomorfi  , og vi sier at X er embeddet i Y hvis og bare hvis en slik isomorfi finnes.[1]

En isomorfi er her bijektiv funksjon   som er slik at

  1.  
  2.  
  3.  

og en funksjon som oppfyller dette kalles for strukturbevarende.[2]

I topologi og geometriRediger

I generell topologiRediger

La X og Y være topologiske rom. Dersom det finnes en homeomorfi  , der  , sier vi at f er en embedding og at X er embeddet i Y.[3]

Her er en homeomorfi en funksjon   slik at

  1. f er bijektiv
  2. f er kontinuerlig
  3. den inverse av f, f-1, er også kontinuerlig.

To embeddinger   og   sies å være ekvivalente dersom det finnes en homeomorfi   slik at  . Dette definerer en ekvivalensrelasjon.[3]

I differensialtopologiRediger

La X og Y være glatte manifolder, av dimensjon m og n. En glatt avbildning   kalles for en immersjon dersom   og   for ethvert punkt  . f kalles for en embedding hvis den også er en homeomorfi fra X til bildet  .[4] To embeddinger   er isotopiske dersom det finnes en glatt homotopi   slik at for enhver   er også avbildningen

 

en embedding.[5]

Whitneys embeddingsteorem sier at ethvert mangfold av dimensjon n kan embeddes i   som en lukket delmengde av  .[6]

I funksjonalanalyseRediger

Metriske rom er også topologiske rom, og vi sier som for topologiske rom at hvis X og Y er metriske rom, er X embeddet i Y dersom det finnes en homeomorfi f fra X til en delmengde i Y.[7]

Videre sier vi at f er en kontinuerlig embedding, og at X er kontinuerlig embeddet i Y, dersom f er kontinuerlig (begrenset), og at f er en kompakt embedding, og at X er kompakt embeddet i Y, dersom f er en kompakt.[8]

Gelfand-Naimark-teoremet sier at enhver C*-algebra er embeddet i B(H), rommet av begrensede operatorer (eller kontinuerlige operatorer) fra H til H, for et Hilbert-rom H.[9]

I diskret matematikkRediger

I grafteoriRediger

 
Den komplette grafen K5 tegnet i planet. Denne kan ikke tegnes uten å la to kanter krysse hverandre, og er derfor ikke planar.

En embedding av en avbildning av en graf til et vektorrom, slik som for eksempel planet, og en graf G kan embeddes i dette vektorrommet hvis den kan tegnes slik at ingen kanter krysser hverandre (ikke har noen felles punkter utenom endepunktene, dvs. nodene).[10]

En planar graf er en graf som kan tegnes (embeddes) i planet uten at kantene krysser hverandre. En slik embedding gir en oppdeling i disjunkte delmengder av planet, og disse kalles for ansikter (faces). Det er alltid ett ansikt som ikke er begrenset, og dette kalles for et ytre ansikt (outer face) eller uendelig ansikt (infinite face). Det finnes generelt mange ulike embeddinger av en villkårlig planar graf, og vi sier at to embeddinger er ekvivalente (som gir en ekvivalensrelasjon) dersom randen av ett ansikt i en embedding tilsvarer nøyaktig randen av ett ansikt i den andre.[10]

ReferanserRediger

LitteraturRediger

  • Amiya Mukherjee (2015). Differential Topology (2 utg.). Cham: Springer. ISBN 978-3-319-19044-0. 
  • Joseph Muskat (2014). Functional Analysis. Cham: Springer. ISBN 978-3-319-06727-8. 
  • T. Nishizeki, N. Chiba (1988). Planar graphs: theory and algorithms. Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-444-70212-8. 
  • Ralph W. Oberste-Vorth, Bonita A. Lawrence, Aristides Mouzakitis (2012). Bridge to Abstract Mathematics. Washington DC: Mathematical Association of America. ISBN 9780883857793. 
  • Tomáš Roubíček (2005). Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Basel: Springer. ISBN 978-3-7643-7293-4. 
  • T. B. Rushing (1973). Topological embeddings. New York: Academic Press. ISBN 9786611984113. 

Eksterne lenkerRediger